NP和P问题
来源：maxtrix67：http://www.matrix67.com/blog/archives/105
- P问题：在多项式时间内可以求出解的问题
- NP问题：在多项式时间内可以证明一个解是对的问题 or 在多项式时间内可以猜出一个解的问题
- 所有的P类问题都是NP问题
所有的P类问题都是NP问题的意思是：P属于NP，P是NP的子集
能多项式地解决一个问题，必然能多项式地验证一个问题的解（意思是，既然正解都出来了，验证任意给定的解也只需要比较一下就可以了）。
- 是否所有的NP问题都是P类问题
人们目前想知道想证明的是：是否所有的NP问题都是P类问题
也就是说，集合P与集合NP（把P类问题和NP类问题集合化），现在知道P属于NP，想要知道：是否有P=NP。
目前的大方向是：P=NP不成立,也就是，多数人相信，存在至少一个不可能有多项式级复杂度的算法的NP问题。
- NP-compeleted(NP完全问题)
-
约化（Reducibility，有的资料上叫“归约”）:
问题A可以约化为问题B的含义是，可以用问题B的解法解决问题A，或者说，问题A可以“变成”问题B。
例子1:问题A是求解一个一元一次方程，问题B是求解一个二元一次方程。求解一元一次方程可以约化为求解一个二元一次方程。把问题A转换成问题B，两个问题就等价了。
例子2：Hamilton回路可以约化为TSP问题(Travelling Salesman Problem，旅行商问题)：在Hamilton回路问题中，两点相连即这两点距离为0，两点不直接相连则令其距离为1，于是问题转化为在TSP问题中，是否存在一条长为0的路径。Hamilton回路存在当且仅当TSP问题中存在长为0的回路。
NPC问题的定义非常简单。同时满足下面两个条件的问题就是NPC问题。首先，它得是一个NP问题；然后，所有的NP问题都可以约化到它。证明一个问题是 NPC问题也很简单。先证明它至少是一个NP问题，再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它（由约化的传递性，则NPC问题定义的第二条也得以满足；至于第一个NPC问题是怎么来的，下文将介绍），这样就可以说它是NPC问题了。
既然所有的NP问题都能约化成NPC问题，那么只要任意一个NPC问题找到了一个多项式的算法，那么所有的NP问题都能用这个算法解决了，NP也就等于P了。因此，给NPC找一个多项式算法太不可思议了。因此，前文才说，“正是NPC问题的存在，使人们相信P≠NP”。我们可以就此直观地理解，NPC问题目前没有多项式的有效算法，只能用指数级甚至阶乘级复杂度的搜索。
- NP-Hard问题：NP-Hard问题是这样一种问题，它满足NPC问题定义的第二条但不一定要满足第一条（就是说，NP-Hard问题要比 NPC问题的范围广）。NP-Hard问题同样难以找到多项式的算法，但它不列入我们的研究范围，因为它不一定是NP问题。即使NPC问题发现了多项式级的算法，NP-Hard问题有可能仍然无法得到多项式级的算法。事实上，由于NP-Hard放宽了限定条件，它将有可能比所有的NPC问题的时间复杂度更高从而更难以解决。
不要以为NPC问题是一纸空谈。NPC问题是存在的。确实有这么一个非常具体的问题属于NPC问题。下文即将介绍它。
下文即将介绍逻辑电路问题。这是第一个NPC问题。其它的NPC问题都是由这个问题约化而来的。因此，逻辑电路问题是NPC类问题的“鼻祖”。
逻辑电路问题是指的这样一个问题：给定一个逻辑电路，问是否存在一种输入使输出为True。
什么叫做逻辑电路呢？一个逻辑电路由若干个输入，一个输出，若干“逻辑门”和密密麻麻的线组成。看下面一例，不需要解释你马上就明白了。
┌───┐
│ 输入1├─→┐ ┌──┐
└───┘ └─→┤ │
│ or ├→─┐
┌───┐ ┌─→┤ │ │ ┌──┐
│ 输入2├─→┤ └──┘ └─→┤ │
&
nbsp;└───┘ │ ┌─→┤AND ├──→输出
└────────┘┌→┤ │
┌───┐ ┌──┐ │ └──┘
│ 输入3├─→┤ NOT├─→────┘
└───┘ └──┘
这是个较简单的逻辑电路，当输入1、输入2、输入3分别为True、True、False或False、True、False时，输出为True。
有输出无论如何都不可能为True的逻辑电路吗？有。下面就是一个简单的例子。
┌───┐
│输入1 ├→─┐ ┌──┐
└───┘ └─→┤ │
│AND ├─→┐
┌─→┤ │ │
│ └──┘ │ ┌──┐
│ └→┤ │
┌───┐ │ │AND ├─→输出
│输入2 ├→─┤ ┌──┐ ┌→┤ │
└───┘ └→┤NOT ├→──┘ └──┘
└──┘
上面这个逻辑电路中，无论输入是什么，输出都是False。我们就说，这个逻辑电路不存在使输出为True的一组输入。
回到上文，给定一个逻辑电路，问是否存在一种输入使输出为True，这即逻辑电路问题。
逻辑电路问题属于NPC问题。这是有严格证明的。它显然属于NP问题，并且可以直接证明所有的NP问题都可以约化到它（不要以为NP问题有无穷多个将给证明造成不可逾越的困难）。证明过程相当复杂，其大概意思是说任意一个NP问题的输入和输出都可以转换成逻辑电路的输入和输出（想想计算机内部也不过是一些 0和1的运算），因此对于一个NP问题来说，问题转化为了求出满足结果为True的一个输入（即一个可行解）。
有了第一个NPC问题后，一大堆NPC问题就出现了，因为再证明一个新的NPC问题只需要将一个已知的NPC问题约化到它就行了。后来，Hamilton 回路成了NPC问题，TSP问题也成了NPC问题。现在被证明是NPC问题的有很多，任何一个找到了多项式算法的话所有的NP问题都可以完美解决了。因此说，正是因为NPC问题的存在，P=NP变得难以置信。P=NP问题还有许多有趣的东西，有待大家自己进一步的挖掘。攀登这个信息学的巅峰是我们这一代的终极目标。现在我们需要做的，至少是不要把概念弄混淆了。
