芝诺“阿基里斯与乌龟悖论”解

2023-12-26 本文已影响0人桂叶圣

上周与朋友茶室闲话，说到芝诺悖论。闲话思维散漫，往往言不及义。我说地含混，朋友听地糊涂，两不尽兴。回家仔细思量，当时思路尚可取，只是语焉不详，便显逻辑紊乱。

芝诺古希腊数学家、思想家，他提出了多个悖论，均涉及无穷问题。最为人知的是阿基里斯与乌龟赛跑的悖论。

阿基里斯，希腊神话人物，善跑，类似我国的夸父。

这个悖论说，即使是善跑的阿基里斯，其前如果有一慢速挪动的乌龟，以理思维，他也无法追上。推理过程如下：

阿基里斯开跑之前，乌龟所在位置记为甲处。等阿基里斯跑至甲处，乌龟已由甲处移至前方某乙处。这样，阿基里斯与乌龟之间距离虽然变近，然而问题的性质并没有改变。乌龟依旧在阿基里斯前方。如此推论，阿基里斯永远追不上乌龟。

这个问题非常容易理解，而且特别容易让人想起《庄子•天下篇》中的：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”如果芝诺出在战国，大概一样被归为“能服人之口，不能服人之心”的名家。但是惠施的命题^[1]只让我们认为理论上可能，此外再无过多思考。而芝诺的问题，即或不能“服人心”，但人亦难道其弊。芝诺亦不以人不能言其弊为荣，芝诺把这作为一个严肃的，未能解决的数学问题，来讨论。这是芝诺与战国名家的不同处。

现在我试着来解释一下这个问题。

现在假设最初阿基里斯与乌龟之间的距离为 $L_0$ ，乌龟的速度为 $v$ , 阿基里斯速度为 $k\cdot{v}$ ，阿基里斯速度快，所以 $k>1$ ，最初阿基里斯所在位置记为 0，乌龟所谓位置记为 1。阿基里斯到达位置 1 时，乌龟所到达的新位置记为 2。以此记录。

$0\to 1$ ，阿基里斯用的时间为： $\Delta t_1=\frac{L_0}{kv}$ 。这时乌龟向前挪动的距离为： $L_1=\Delta t_1 v=\frac{L_0}{k}$ 。
$1\to 2$ ，阿基里斯跑完 $L_1$ 用时为： $\Delta t_2=\frac{L_1}{kv}=\frac{L_0/k}{kv}=\frac{L_0}{k^{2}v}$ 。乌龟跑的距离为： $L_2={\Delta t_2}v=\frac{L_0}{k^2}$ 。
$2\to 3$ ，阿基里斯跑完 $L_2$ 用时为： $\Delta t_3=\frac{L_2}{kv}=\frac{L_0/k^2}{av}=\frac{L_0}{k^3v}$ 。乌龟跑的距离为： $L_3={\Delta t_3}v=\frac{L_0}{k^3}$ 。
……

以此进行，不难发现， $\Delta t_i$ 和 $L_i$ 都构成等比序列。
$\begin{cases} \Delta t_i=\frac{L_0}{k^i v}\\ L_i=\frac{L_0}{k^i} \end{cases}$
位置点用 $i$ 标记，阿基里斯移动，每次移动距离为 $L_i$ ，用时 $\Delta t_i$ ，列表如下：

$i$	$L_i$	$\Delta t_i$
0	$L_0$	0
1	$\frac{L_0}{k}$	$\frac{L_0}{kv}$
2	$\frac{L_0}{k^2}$	$\frac{L_0}{k^2v}$
3	$\frac{L_0}{k^3}$	$\frac{L_0}{k^3v}$
4	$\frac{L_0}{k^4}$	$\frac{L_0}{k^4v}$

以芝诺论，永远追不上，换言之即追上用时为无穷大，即
$\Delta T=\Delta t_1 + \Delta t_2+...=\sum_{i=1}^{\infty} \Delta t_i$
的结果当为无穷大。

这样问题就转化为一纯数学问题，即求等比数列 $\Delta t_i$ 的极限和。等比数列求和公式为
$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$

当 n 趋于无穷大时，若 $q<1$ ，变为 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 。这里序列第一项为 $a_1=\frac{L_0}{kv}$ , 公比为 $q=1/k<1$ , 带入公式得：
$\begin{align} \Delta T& =\frac{\Delta t_1}{1-1/k}\\ &=\frac{\Delta t_1}{(k-1)/k}\\ &=\frac{k}{k-1}\Delta t_1 &(\text{带入}\Delta t_1)\\ &=\frac{k}{k-1}\frac{L_0}{k v}\\ &=\frac{L_0}{v}\frac{1}{k-1} \end{align}$

$L_0/v$ 就是乌龟从 $1\to 0$ 需要的时间。我们设定中 $k>1$ . 所以一切都很好。和为有限值，和我们的现实一致。芝诺错了。

很多读者，读到上面的等比公式，可能已经被吓到了，不怕。以下内容，只要小学知识就能读懂。

最初的乌龟与阿基里斯之间的距离定为1，单位是什么没关系，只要后面速度单位和这个距离单位一致就可以了。乌龟的速度也定为1，阿基里斯的速度定为乌龟的10倍。那么每次用时间的等比序列就变成了： $\frac{1}{10}=0.1,\frac{1}{100}=0.01,\frac{1}{1000}=0.001,…$

现在和我一起回忆小学数学知识，循环小数：
$\begin{align}\frac{1}{9}&=0.111...\\ &=0.1+0.01+0.001+...\\ \end{align}$
注意上面最后的一部分，那不就是我们正要计算的数列和吗？
$0.1+0.01+0.001+... = \frac{1}{9}$
可见， 0.1，0.01，0.001，…… 这个序列的和是1/9，不用说，它是有限的。

一般讨论至此就结束了，但是我要多说几句。何以惠施命题，听起来不如芝诺的那么给人刺激呢？

原因是惠施的命题是正确的，就算今日，数学上也这样认为。惠施的命题用今日数学语言描述即为：无穷小不等于〇。这也是一个重要的数学认识，显然芝诺也认识到了。

芝诺的这个命题所以被叫做悖论，不在其反直觉，而在于它是错误的。错在哪里？就在，我们如下的错误的直觉：只要不是负数，无限的累加就会变为无穷大。

芝诺悖论，在推动数学发展上有巨大的功劳，芝诺之错，不是他的罪。他通过这个悖论，清楚的揭示出人类的这个错误的直觉，我以为这是芝诺比惠施更加高明的地方。

《庄子•天下篇》中提出这个问题的是惠施，而非庄周。庄周是记录者、叙述者。 ↩

芝诺“阿基里斯与乌龟悖论”解

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