一、定义

平衡二叉树：是一种二叉排序树，其中每一个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1。
我们将二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF(Balance Factor)。
平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是-1、0、1。只要二叉树上有一个结点的平衡因子的绝对值大于1，则该二叉树就不是平衡的。
距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树，我们称为最小不平衡树。

二、原理

平衡二叉树构建的基本思想就是在构建二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找到最小不平衡树。在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行旋转，使其能成为新的平衡二叉树。

1、右旋

1. 当传入一个二叉排序树P，将它的左孩子结点定义为L；
2. 将L的右子树变为P的左子树；
3. 将P变成L的右子树；
4. 最后将L替换P成为根结点。

//1.右旋
/*
 对以p为根的二叉排序树作右旋处理;
 处理之后p指向新的树根结点,即旋转处理之前的左子树的根结点;
 */
void R_Rotate(BiTree *p){
    //找到当前结点的左子树
    BiTree temp = (*p)->lchild;
    //修改左子树的右子树为p的左子树
    (*p)->lchild = temp->rchild;
    //修改p为左子树的右子树
    temp->rchild = (*p);
    
    (*p) = temp;
}

2、左旋

1. 当传入一个二叉排序树P，将它的右孩子结点定义为R；
2. 将R的左子树变为P的右子树；
3. 将P变为R的左子树；
4. 最后将R替换P成为根结点；

/*
 2.左旋
 对以P为根的二叉排序树作左旋处理
 处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点
 */

void L_Rotate(BiTree *p){
    BiTree temp = (*p)->rchild;
    (*p)->rchild = temp->lchild;
    temp->lchild = (*p);
    
    (*p) = temp;
}

3、双旋

#define LH +1 /*  左高 */
#define EH 0  /*  等高 */
#define RH -1 /*  右高 */
/*
 3. 对指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理,算法结束后,指针T指向平衡处理后新的根结点
 */
void LeftBalance(BiTree *T)
{
    BiTree L,Lr;
    
    //1.L指向T的左子树根结点
    L=(*T)->lchild;
    
    //2.检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理
    switch(L->bf)
    {
        //① 新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理(如图1-平衡二叉树右旋解释图)
        case LH:
            //L的平衡因子为LH,即为1时,表示它与根结点BF符合相同,则将它们(T,L)的BF值都改为EH(0)
            (*T)->bf=L->bf=EH;
            //对最小不平衡子树T进行右旋;
            R_Rotate(T);
            break;
            
        //② LH的平衡因子为RH(-1)时,它与跟结点的BF值符合相反.此时需要做双旋处理(2次旋转处理)
        //   新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作 双旋处理
        case RH:
            
            //Lr指向T的左孩子的右子树根
            Lr=L->rchild;
            
            //修改T及其左孩子的平衡因子
            switch(Lr->bf)
            {
            
                case LH:
                    (*T)->bf=RH;
                    L->bf=EH;
                    break;
                    
                case EH:
                    (*T)->bf=L->bf=EH;
                    break;
                    
                case RH:
                    (*T)->bf=EH;
                    L->bf=LH;
                    break;
             }
            Lr->bf=EH;
            //对T的左子树作左旋平衡处理
            L_Rotate(&(*T)->lchild);
            //对T作右旋平衡处理
            R_Rotate(T);
    }
}

/*
 4. 右平衡树失衡处理
 对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理
 本算法结束时，指针T指向新的根结点
 */
void RightBalance(BiTree *T)
{
    BiTree R,Rl;
    //1.R指向T的右子树根结点
    R=(*T)->rchild;
    
    //2. 检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理
    switch(R->bf)
    {
        //① 新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理
        case RH:
            (*T)->bf=R->bf=EH;
            L_Rotate(T);
            break;
        //新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理
        case LH:
            //Rl指向T的右孩子的左子树根
            Rl=R->lchild;
           
            //修改T及其右孩子的平衡因子
            switch(Rl->bf)
                {
                    case RH:
                        (*T)->bf=LH;
                        R->bf=EH;
                        break;
                    case EH:
                        (*T)->bf=R->bf=EH;
                        break;
                    case LH:
                        (*T)->bf=EH;
                        R->bf=RH;
                        break;
                }
            
            Rl->bf=EH;
            //对T的右子树作右旋平衡处理
            R_Rotate(&(*T)->rchild);
            //对T作左旋平衡处理
            L_Rotate(T);
    }
}

/*
 5. 平衡二叉树的插入实现
 若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否
 思路:
 1.如果T为空时,则创建一个新结点;
 2.如果T不为空,判断是否存在相同的结点.如果二叉树中存在相同结点,则不需要插入;
 3.如果新结点值e小于T的根结点值,则在T的左子树查找;
 -如果能在左子树中查找到,则不插入进去.返回False; 如果没有找到,则插入
 -插入成功taller为TRUE,说明新结点e已经插入进去; 此时需要判断T的平衡因子;
 -如果平衡因子是1,则说明左子树高于右子树,那么需要调用leftBalance进行左平衡旋转处理;
 -如果为0或者-1,则说明新插入的结点没有让整颗二叉排序树失去平衡性,只需要修改BF值即可;
 4.如果新结点值e大于T的根结点值,则在T的右子树查找;
 -如果能在右子树中查找到,则不插入进去.返回False; 如果没有找到,则插入
 -插入成功taller为TRUE,说明新结点e已经插入进去; 此时需要判断T的平衡因子;
 -如果平衡因子是-1,则说明右子树高于左子树,那么需要调用RightBalance进行右平衡旋转处理;
 -如果为0或者1,则说明新插入的结点没有让整颗二叉排序树失去平衡性,只需要修改BF值即可;
 */
Status InsertAVL(BiTree *T,int e,Status *taller)
{
    if(!*T)
    {   //1.插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE
        //① 开辟一个新结点T;
        *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        //② 对新结点T的data赋值,并且让其左右孩子指向为空,T的BF值为EH;
        (*T)->data=e;
        (*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL;
        (*T)->bf=EH;
        //③ 新结点默认"长高"
        *taller=TRUE;
    }
    else
    {
        if (e==(*T)->data)
        {  //2.树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入
            *taller=FALSE;
            return FALSE;
        }
        if (e<(*T)->data)
        {
           //3.应继续在T的左子树中进行搜索
            if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))
                //未插入
                return FALSE;
            
            //4.已插入到T的左子树中且左子树“长高”
            if(*taller)
                //5.检查T的平衡度
                switch((*T)->bf)
            {
                case LH:
                    //原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理
                    LeftBalance(T);
                    *taller=FALSE;
                    break;
                case EH:
                    //原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高
                    (*T)->bf=LH;
                    *taller=TRUE;
                    break;
                case RH:
                    //原本右子树比左子树高，现左、右子树等高
                    (*T)->bf=EH;
                    *taller=FALSE;
                    break;
            }
        }
        else
        { //6.应继续在T的右子树中进行搜索
            //未插入
            if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller))
                return FALSE;
            //已插入到T的右子树且右子树“长高”
            if(*taller)
                // 检查T的平衡度
                switch((*T)->bf)
            {
                //原本左子树比右子树高，现左、右子树等高
                case LH:
                    (*T)->bf=EH;
                    *taller=FALSE;
                    break;
                //原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高
                case EH:
                    (*T)->bf=RH;
                    *taller=TRUE;
                    break;
                // 原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理
                case RH:
                    RightBalance(T);
                    *taller=FALSE;
                    break;
            }
        }
    }
    return TRUE;
}

三、算法复杂度

如果我们需要查找的集合本身没有顺序，在频繁查找的同时也需要经常的插入和删除操作时，显然我们需要构建一棵二叉排序树，但是不平衡的二叉排序树效率非常低，因此我们在构建时，就让这棵二叉排序树是平衡二叉树，此时查找的算法复杂度为O(logn)，而插入删除的算法复杂度也为O(logn)