高等代数理论基础50：线性变换的值域与核

2019-03-30 本文已影响2人溺于恐

线性变换的值域与核

定义：设 $\mathscr{A}$ 是线性空间V的一个线性变换, $\mathscr{A}$ 的全体像组成的集合称为 $\mathscr{A}$ 的值域,记作 $\mathscr{A}V$

所有被 $\mathscr{A}$ 变成零向量的向量组成的集合称为 $\mathscr{A}$ 的核,记作 $\mathscr{A}^{-1}(0)$

$\mathscr{A}V=\{\mathscr{A\xi}|\xi\in V\}$ , $\mathscr{A}^{-1}(0)=\{\xi|\mathscr{A\xi}=0,\xi\in V\}$

注：线性变换的值域与核都是V的子空间

$\mathscr{A\alpha+A\beta=A(\alpha+\beta)}$

$k\mathscr{A}\alpha=\mathscr{A}(k\alpha)$

故 $\mathscr{A}V$ 对加法与数量乘法封闭,且 $\mathscr{A}V$ 非空

故 $\mathscr{A}V$ 是V的子空间

由 $\mathscr{A}\alpha=0,\mathscr{A}\beta=0$

$\mathscr{A}(\alpha+\beta)=0,\mathscr{A}(k\alpha)=0$

即 $\mathscr{A}^{-1}(0)$ 对加法与数量乘法封闭

又 $\mathscr{A}(0)=0$ ,故 $0\in \mathscr{A}^{-1}(0)$

即 $\mathscr{A}^{-1}(0)$ 非空

故 $\mathscr{A}^{-1}(0)$ 是V的子空间

$\mathscr{A}V$ 的维数称为 $\mathscr{A}$ 的秩, $\mathscr{A}^{-1}(0)$ 的维数称为 $\mathscr{A}$ 的零度

例：在线性空间 $P[x]_n$ 中,令 $\mathscr{D}(f(x))=f’(x)$ ,则 $\mathscr{D}$ 的值域为 $P[x]_{n-1}$ , $\mathscr{D}$ 的核为 $P$

定理：设 $\mathscr{A}$ 是n维线性空间V的线性变换, $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是V的一组基,在这组基下 $\mathscr{A}$ 的矩阵是A,则

1. $\mathscr{A}$ 的值域 $\mathscr{A}$ V是由基像组生成的子空间,即 $\mathscr{A}V=L(\mathscr{A\varepsilon_1,A\varepsilon_2,\cdots,A\varepsilon_n})$

2. $\mathscr{A}$ 的秩=A的秩

证明：

$1.\forall \xi\in V$

$可用基的线性组合表为$

$\xi=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n$

$\therefore \mathscr{A\xi}=x_1\mathscr{A}\varepsilon_1+x_2\mathscr{A}\varepsilon_2+\cdots+x_n\mathscr{A}\varepsilon_n$

$\therefore \mathscr{A}\xi\in (\mathscr{A\varepsilon,A\varepsilon,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n})$

$\therefore \mathscr{A}V包含在L(\mathscr{A}\varepsilon_1,\mathscr{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathscr{A}\varepsilon_n)内$

$\therefore 基像组的线性自核还是一个像$

$\therefore L(\mathscr{A\varepsilon_1,A\varepsilon_2,\cdots,A\varepsilon_n})包含在\mathscr{A}V内$

$\therefore \mathscr{A}V=L(\mathscr{A\varepsilon_1,A\varepsilon_2,\cdots,A\varepsilon_n})$

$2.\mathscr{A}的秩等于基像组的秩$

$又矩阵A是由基像组的坐标按列排成$

$若在n维线性空间V中取定一组基$

$将V的每个向量与它的坐标对应起来$

$可得V到P^n的同构对应$

$同构对应保持向量组的一切线性关系$

$\therefore 基像组与它们的坐标组(矩阵A的列向量组)有相同的秩\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变

定理：设 $\mathscr{A}$ 是n维线性空间V的线性变换,则 $\mathscr{A}V$ 的一组基的原像及 $\mathscr{A}^{-1}(0)$ 的一组基合起来即 $V$ 的一组基,故

$\mathscr{A}$ 的秩+ $\mathscr{A}$ 的零度=n

证明：

$设\mathscr{A}V的一组基为\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_r$

$它们的原像为\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_r$

$\mathscr{A}\varepsilon_i=\eta_i,i=1,2,\cdots,r$

$取\mathscr{A}^{-1}(0)的一组基为\varepsilon_{r+1},\varepsilon_{r+2},\cdots,\varepsilon_s$

$下证\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_r,\varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_s为V的基$

$若有l_1\varepsilon_1+\cdots+l_r\varepsilon_r+l_{r+1}\varepsilon_{r+1}+\cdots+l_s\varepsilon_s=0$

$用\mathscr{A}去变换它两端的向量$

$则l_1\mathscr{A}\varepsilon_1+\cdots+l_r\mathscr{A}\varepsilon_r+l_{r+1}\mathscr{A}\varepsilon_{r+1}+\cdots+l_s\mathscr{A}\varepsilon_s=\mathscr{A}0=0$

$\because \varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_s\in \mathscr{A}^{-1}(0)$

$\therefore \mathscr{A}\varepsilon_{r+1}=\cdots=\mathscr{A}\varepsilon_s=0$

$又\mathscr{A}\varepsilon_i=\eta_i(i=1,2,\cdots,r)$

$\therefore l_1\eta_1+l_2\eta_2+\cdots+l_r\eta_r=0$

$又\eta_1,\cdots,\eta_r线性无关$

$\therefore l_1=l_2=\cdots=l_r=0$

$\therefore l_{r+1}\varepsilon_{r+1}+\cdots+l_s\varepsilon_s=0$

$\varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_s是\mathscr{A}^{-1}(0)的基,线性无关$

$\therefore l_{r+1}=\cdots=l_s=0$

$\therefore \varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_r,\varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_s线性无关$

$下证\forall \alpha\in V是\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_r,\varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_s的线性组合$

$由\eta_1=\mathscr{A}\varepsilon_1,\cdots,\eta_r=\mathscr{A}\varepsilon_r是\mathscr{A}V的基$

$有一组数l_1,\cdots,l_r使\mathscr{A}\alpha=l_1\mathscr{A}\varepsilon_1+\cdots+l_r\mathscr{A}\varepsilon_r=\mathscr{A}(l_1\varepsilon_1+\cdots+l_r\varepsilon_r)$