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积分题13

2021-01-06  本文已影响0人  Raow1
2018-1-6. 对于区域B = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 \}。计算\iiint\limits_B e^z \mathrm dx \mathrm dy \mathrm dz。

由高斯公式知：
\begin{align*} \iiint\limits_B e^z \mathrm dx \mathrm dy \mathrm dz &= \iint\limits_{\Sigma} e^z \mathrm dx \mathrm dy \\ &= \iint\limits_{D_{xy}} r e^{\sqrt{1-r^2}} \mathrm dr \mathrm d\theta - \iint\limits_{D_{xy}} r e^{-\sqrt{1-r^2}} \mathrm dr \mathrm d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \mathrm d\theta \int_0^1 r e^{\sqrt{1-r^2}} \mathrm dr - \int_0^{2\pi} \mathrm d\theta \int_0^1 r e^{-\sqrt{1-r^2}} \mathrm dr\\ &= 2\pi \int_1^0 -\frac{1}{2} e^{\sqrt{1-r^2}} \mathrm d (1-r^2) - 2\pi \int_1^0 -\frac{1}{2} e^{-\sqrt{1-r^2}} \mathrm d (1-r^2)\\ &\xlongequal{t=1-r^2} \pi \int_0^1 e^ \sqrt t \mathrm dt - \pi \int_0^1 e^{-\sqrt t} \mathrm dt\\ &= 2\pi(\sqrt t e^{\sqrt t} - e^{\sqrt t}) |^1_0 + 2\pi (\sqrt t e^{-\sqrt t} - e^{-\sqrt t})|^1_0\\ &= \frac{4\pi}{e} \end{align*}

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