参考资料

<PYTHON_MACHINE_LEARNING> chapter3
A Tour of Machine Learning
Classifers Using Scikit-learn

引言

在我们进行分类的时，所取样本中的特征值一般都分布在实数域，但是我们想得到的往往是一个在 [0,1] 中的类似概率的值。 或者这么说，为了让特征值之间不会因为相差过大而造成干扰，比如，只有一个特征取值特别大，但是其他取值很小的时候， 我们需要对数据进行归一化。 即我们需要用一个从R 到 [0,1] 的单射来先处理特征值矩阵，然后再进行机器学习。当所用的映射是 sigmoid函数的时候，我们管这样的机器学习算法叫做逻辑回归。
PS：逻辑回归是用来分类的！！！不是用来做线性回归的！ sigmoid 函数的反函数叫做 logit 函数， 这就是逻辑回归 logistic regression 的来历，跟逻辑没啥关系......

sigmoid 函数

这个函数的特点就是一条S型的定义域在 R 中， 值域在 [0,1] 中的函数
同时它也代表 y=1的概率， y=0 的概率为 1-phi(z)
画一下图来说明一下

#! /usr/bin/python <br> # -*-coding: utf8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def sigmoid(z):
    return 1.0/(1.0+np.exp(-z))

z = np.arange(-10,10,0.1)
p = sigmoid(z)
plt.plot(z,p)
#画一条竖直线，如果不设定x的值，则默认是0
plt.axvline(x=0, color='k')
plt.axhspan(0.0, 1.0,facecolor='0.7',alpha=0.4)
# 画一条水平线，如果不设定y的值，则默认是0
plt.axhline(y=1, ls='dotted', color='0.4')
plt.axhline(y=0, ls='dotted', color='0.4')
plt.axhline(y=0.5, ls='dotted', color='k')
plt.ylim(-0.1,1.1)
#确定y轴的坐标
plt.yticks([0.0, 0.5, 1.0])
plt.ylabel('$\phi (z)$')
plt.xlabel('z')
ax = plt.gca()
ax.grid(True)
plt.show()

逻辑回归算法 logistic regression

• 基本原理
  逻辑回归算法跟Adaline 线性自适应算法很类似，区别只不过是把激活函数从**恒同映射 y = z ** 换成了 y = sigmoid(z)

• 逻辑回归中的损失函数
  回忆一下在梯度下降模型 Adaline 中应用到的损失函数 cost function 平方差函数
  
  这是线性回归的一种损失函数
  但是对于S型的sigmoid函数，这样的定义在 y 趋近-1，1 的时候会特别接近零
  对于逻辑回归 logistic regression 损失函数是这样定义的
  对数似然损失函数(交叉熵)
  Ps: 一下所有的 log 其实都是 ln

这个损失函数是怎么来的呢？ 极大似然法
先定义似然函数(每个样本都认为是独立的)：

似然函数可以看成条件概率
关于似然函数的概念可以参考kevinGao的博客

http://www.cnblogs.com/kevinGaoblog/archive/2012/03/29/2424346.html

根据似然函数的概念，令似然函数最大的那个概率就是最合理的。我们想最大化似然函数，但是这个形式还是不够好看，毕竟是连乘的形式，所以，我们取一下对数

现在好了，我们知道：当 权向量 w 使 l最大的时候， w 最合理
那么我们就定义 J 函数 ： J = -l

为了更好的理解，我们看一下单个样本的损失函数：

以y=1为例，当预测值接近正确值的时候，J 会收敛到 0

• 权值更新
  跟梯度下降法一样，按照公式

经过计算

我们就有了权值更新的公式
居然跟Adaline一模一样哎
意不意外？惊不惊喜？

这意味着，我们在单独编写 LogisticRegression 类的时候，只需要在Adaline类中重新定义一下激励函数 phi 就可以了

实践

我们再上一章 sklearn 实现 Perceptron 感知机的基础上用 Iris 的数据集来实践一下

__author__ = 'Administrator'
#! /usr/bin/python <br> # -*- coding: utf8 -*-
from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.cross_validation import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.metrics import accuracy_score
from PDC import plot_decision_regions
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.colors import ListedColormap
import numpy as np
iris = datasets.load_iris()
x = iris.data[:,[2,3]]
y = iris.target
X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(
    x , y, test_size=0.3, random_state = 0
)
sc = StandardScaler()
sc.fit(X_train)
X_train_std = sc.transform(X_train)
X_test_std = sc.transform(X_test)
Ir = LogisticRegression(C=1000.0,random_state=0)
Ir.fit(X_train_std,y_train)
X_combined_std = np.vstack((X_train_std,X_test_std))
y_combined = np.hstack((y_train,y_test))

plot_decision_regions(X=X_combined_std,y=y_combined,
                      classifier=Ir,
                      test_idx=range(105,150))
plt.xlabel('petal length [standardized]')
plt.ylabel('petal width [standardized]')
plt.legend(loc='upper left')
plt.savefig('Iris.png')
plt.show()

print(X_test_std[0,:])
a = Ir.predict_proba(X_test_std[0,:])
print(a)

过拟合，欠拟合与正则化

过拟合与欠拟合是机器学习常见的两个问题

• 过拟合
  俗称想太多。为了很好的拟合训练集，模型使用了太多的参数，变得特别复杂，甚至噪音与误差都被分成了一类，这样的模型虽然对训练集模拟的很好，但是对用来预测的数据集却特别不可靠，我们说 ：这样的模型 has a high variance (高方差)
  -欠拟合
  对应的，头脑太简单。模型太过简单以至于对预测用数据集来说也不可靠
  我们这这样的模型 has a high bias (高偏差)

• 正则化 Ruglarization
  为了防止过拟合，正则化是一种常用的方法。正则化，简单地说，就是引入额外的偏差去降低一些极端权值的影响。
  最常见的正则化，是 L2正则化，他在损失函数的末尾加上这样一项
  
  Lambda 被称为正则化参数
  这样损失函数形式变为：

Ir = LogisticRegression(C=1000.0,random_state=0)

在类 LogisticRegression 中的参数C 来源于支持向量机(SVM)的相关概念, 这里先不作展开

损失函数的最终形式：

• C值对模拟的影响
  设置从 -5 到 4 10不同的幂作为C值，我们看一下 权值的影响

weights, params = [], []
for c in list(range(-5,5)):
    lr = LogisticRegression(C=10**int(c), random_state=0)
    lr.fit(X_train_std, y_train)
    weights.append(lr.coef_[1])
    params.append(10**c)
weights = np.array(weights)
plt.plot(params, weights[:, 0],label='petal length')
plt.plot(params,weights[:,1],linestyle='--',label='petal width')
plt.ylabel('weight coefficient')
plt.xlabel('C')
plt.legend(loc='upper left')
plt.xscale('log')
plt.show()