2018年理数全国卷C题7：用特殊点选择函数图像

2022-04-28 本文已影响0人易水樵

函数 $y=-x^4+x^2+2$ 的图像大致为（）

【解析】

先猜后证的方法对本题无效，就让我们算一下。

记 $f(x) = -x^4+x^2+2$

令 $t=x^2$ ，则 $f(x)=-t^2+t+2$

所以，图像开口向下。A B 两选项淘汰；

CD 两个选项中哪一个正确？我们用几个特殊点的函数值来判断.

$f(0)=2, \; f(1=2)$ ;

$f(\dfrac{1}{2})= 2+\dfrac{1}{4} \gt f(0)$

显然，选项 C 错误；选项 D 正确.

当然，我们也可以用一个更高级的工具：求导.

$f'(x)=-4x^3+2x=2x(-2x^2+1)$

$x \in (0, \dfrac{\sqrt{2}}{2}), f'(x) \gt 0$ , $f(x)$ 单调递增；

$x \in (\dfrac{\sqrt{2}}{2},+\infty), f'(x) \lt 0$ , $f(x)$ 单调递减；

从单调性分析得出一致结论：选项 D 正确.

【提炼与提高】

函数图像是高考数学中的常用题型. 一般说来，难度不高. 应对策略可以总结如下：

先猜后证；定性为主；定量为辅；特殊点验证；多法结合.