欧几里得算法

介绍

概念

• 欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。

公式

• 计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

GCD、LCM

• 注：最大公因数求法还有辗转相减法等方法

GCD(最大公约数)

//求a,b最大公约数
int find_gcd(int a, int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

LCM(最小公倍数)

//求a,b的最小公倍数
int find_lcm(int a, int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}

扩展欧几里得算法

求方程ax+by=gcd(a,b)特解

• 当方程满足ax+by=gcd(a,b)时，可用扩展欧几里得算法求特解(x0,y0)

/*求方程ax+by=gcd(a,b)的一组特解*/
void extend_fun(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    extend_fun(b,a%b,x,y);
    int temp = x;
    x = y;
    y = temp - (a/b)*y;
}

求任意方程ax+by=n的一个整数解

• 判断方程是否有整数解，有解的条件是n可以被gcd(a,b)整除
• 求处ax+by=gcd(a,b)的一个特解(x0,y0)
• 在ax0+by0=gcd(a,b)两边同时乘n/gcd(a,b)
• 则得到ax+by=n的一个整数解如下

void extend_fun2(int a, int b, int n, int&x, int &y)
{
    int gcd_num = find_gcd(a,b);
    if(n%gcd_num!=0) return;    //无整数解，返回
    
    int s=0,t=0;
    extend_fun(a,b,s,t);
    
    x = s*n/gcd_num;
    y = t*n/gcd_num;
}