习题五

2019-10-16  本文已影响0人  洛玖言

习题五

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设 p 是奇素数，证明
(i) 1^2\cdot3^2\cdots(p-2)^2\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p}
(ii) 2^2\cdot4^2\cdots(p-1)^2\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p}.

(i)
Sol:
易知
有 x\equiv(-1)(p-x)\pmod{p}
所以有
\begin{aligned} &1\equiv(-1)(p-1)\pmod{p}\\ &3\equiv(-1)(p-3)\pmod{p}\\ &\cdots\\ &(p-2)\equiv(-1)\cdot2\pmod{p} \end{aligned}
所以
1^2\cdot3^2\cdots(p-2)^2\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}}(p-1)!\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot(-1)\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p}

(ii)
Sol:
由 (i) 有 x\equiv(-1)(p-x)\pmod{p}
\begin{aligned} &2\equiv(-1)(p-2)\pmod{p}\\ &4\equiv(-1)(p-4)\pmod{p}\\ &\cdots\\ &(p-1)\equiv(-1)\cdot1\pmod{p} \end{aligned}
所以
2^2\cdot4^2\cdots(p-1)^2\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}}(p-1)!\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot(-1)\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p}

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设 p 是素数， r_1,\cdots,r_{p-1} 与 r_1',\cdots,r_{p-1}' 是模 p 的两个缩系，证明：
r_1r_1',\cdots,r_{p-1}r_{p-1}' 不是模 p 的缩系.

Sol:
反证法
设 r_1r_1',\cdots,r_{p-1}r_{p-1}' 是模 p 的缩系.
则有 r_1r_1',\cdots,r_{p-1}r_{p-1}' 模 p 为 1,2,\cdots,p-1
所以有
r_1r_1'\cdots r_{p-1}r_{p-1}'\equiv(p-1)!\equiv-1\pmod{p}
且 r_1,\cdots,r_{p-1} 与 r_1',\cdots,r_{p-1}' 模 p 为 1,2,\cdots,p-1
所以有
r_1r_2\cdots r_{p-1}\equiv(p-1)!\equiv-1\pmod{p}
r_1'r_2'\cdots r_{p-1}'\equiv(p-1)!\equiv-1\pmod{p}
所以有
r_1r_2\cdots r_{p-1}r_1'r_2'\cdots r_{p-1}'\equiv[(p-1)!]^2\equiv(-1)^2\equiv1\pmod{p}
与假设矛盾
所以
r_1r_1',\cdots,r_{p-1}r_{p-1}' 不是模 p 的缩系.

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