第七讲非保守力与保守力

2019-03-04 本文已影响0人一语寄相思R

非保守力与保守力

1、摩擦力的功(非保守力)
- 恒力的功： $\vec{F} \cdot \Delta \vec{r}=|\vec{F}| \cdot |\vec{r}| \cdot \cos \theta$
- 变力的功： $\int_{A}^{B}\vec{F} d\vec{r}=\int_{}^{} F(s) \cos \theta (s) ds$
- 求末态速度
  - 一维

A、已知F(X)：动能定理：--> $\int_{0}^{2} F(x)=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2$

B、已知F(t)：动量定理——> $\int_{0}^{2} F(t)=mv_{末}-mv_{初}$

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2、重力的功 (功只与初末尾置有关)

$\vec{G} \cdot \vec{r}=mgl \cdot \cos \theta =mgz_A-mgz_B $

3、弹簧弹力的功 (k为弹簧弹性系数，即虎克系数 )

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$\int_{A}^{B} \vec{F} d \vec{r} =\int_{a}^{B} kx(-vec{i} )d\vec （+i ）=\int_{x^A}^{x_B} kx dx(-\vec{i} \cdot \vec{i}) =- \frac{1}{2}kx^2|_{x_A}^{x_B}=\frac{1}{2} kx_A^2-\frac{1}{2} kx_B^2= \frac{1}{2} (2 \Delta l)^2$

4、万有引力的功
- $F(万)=G\frac{Mm}{t^2}$
- 径向运动

$W=\int dW=\int_{r_A}^{r_B} G \frac{Mm}{r^2} dr=G \frac{Mm}{r}|_{r_A}^{r_B}=-G \frac{Mm}{r_B}-G \frac{Mm}{r_A}=-G \frac{Mm}{r_A}$

区分 $d\vec{r}$ $dr$

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$\vec {F} \cdot d\vec{r}=G\frac{Mm}{r^2}\times l \times \cos \theta=-G\frac{Mm}{r^2}l \cos \theta=-G\frac{Mm}{r^2}dr$

机械能守恒

重力做的功 $mgz_A-mgz_B$

弹力做的功 $\frac{1}{2} kx_{A}^{2} - \frac {1}{2} kx_{B}^{2} $

万有引力做功 $(-G\frac{Mm}{r_A})-(-G\frac{Mm}{t_B})$

当只有重力，弹力，万有引力做功时，整个系统机械能守恒。

重力势能减少=功能增加+弹性势能增加((无摩擦时)

$m_2gd=\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2+\frac{1}{2}kd^2$

若有摩擦力，且系数为 $\mu$ ,则

$m_2gd=\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2+\frac{1}{2}kd^2+|W_f|=\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2+\frac{1}{2}kd^2+\mu m_1gd$

也即，当没有摩擦力并且万有引力不做功时，机械能守恒。(合外力不做功 $\neq$ 合外力为零)
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….. $F_0=\frac{1}{2}kx^2+\mu mgx$

当没有摩擦力且合外力为零（能做功）时，机械能不守恒。

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