加法结合律的本质(待续)

今天早上不到8点，我路过办公室正欲去教室，同办公室的周老师抱着试卷正在与杨老师讨论问题，这时周老师看见我便说“又来了一个”。我听见后便停下脚步。周老师来到办公室门口与我交流。

周老师指着一道选择题问我，到底选择哪一个选项。这个问题就是(268+69)+132=(268+132)+69运用了怎么运算律。焦点就在于这一运算中除了使用加法交换律，有没有使用加法结合律。

周老师原本认为这道题既使用了加法交换律，也使用了加法结合律。但有老师告诉她，这题中只使用了加法交换律，并没有使用加法结合律。这位老师的理由是:本题中括号的存在是没有意义的，具体地说(268+132)+69和268+132+69是一样的，因为这里的括号不能影响计算的顺序，因此本运算中只是交换了132和69的位置，即只用到了加法交换律。

因此周老师接受了这位老师的意见，但心里还是不踏实，于是又找到杨老师交流。此刻看见我又想听听我的意见。说实话，我之前一直强烈地以为括号是有巨大意义的。比如，1和1.0，以及1.00等许多数显然是相等的，但它们的意义不同。这些不同的数有着不同的计数单位。

在这种意识的指导下，我本能地认为，括号的存在，不管它的位置在前还是在后，一定有它存在的意义，比如(268+132)+69和268+(132+69)。具体的意义似乎说不明白，但仔细一想，虽然结果相同，但算理显然是不一样的。因此，我个人认为，括号就是“结合”的外在体现。据此我进一步认为只要使用了括号就使用了加法结合律。也就是说如果等式右侧没有括号就可以认为没有使用“加法结合律”。

但在(268+132)+69式子中有没有括号，计算的顺序都是一样的，并没有因为括号的存在而改变运算顺序，所以前面那位老师执意认为没有使用加法结合律，仅仅是使用了加法交换律。而我便偏执地认为有了括号就是使用了加法结合律。细细一心，仅仅从有括号的形式上来认定使用了加法结合律似乎理由不够充分。

这时，杨老师来到我们身边进一步解释，他曾经听谁说过，只要是使用了加法交换律，就一定使用了加法结合律。当然只有两个数相加的情形除外。这似乎一下点醒了我，让我有了新的思考。