线性代数-详解二次型（精华）

何为二次型？形如 f(x1,x2,x3) = a*x1^2+b*x1*x3+c*x2^2；这样每一项都是二次的表达式。

何为标准形？形如f(y1,y2,y3) = a*y1^2+b*y2^2+c*y3^2；只含平方项不含混合项的表达式。

二次型的重要议题就是：用变量的线性替换化简一个二次型为标准形。

变换的意义：如将复杂的二次曲面变换为椭圆柱面，处理运算后，再利用非退化的变换矩阵变换为二次曲面.

二次型化为标准形的意义

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线性变换：

x1=c11*y1+c12*y2+...+c1n*yn,

x2=c21*y1+c22*y2+...+c2n*yn,

...

xn=cn1*y1+cn2*y2+...+cnn*yn

称系数矩阵C是：由x1,x2...xn到y1,y2...yn的一个线性变换；若矩阵C的行列式不为0，则该线性变换为非退化的（满秩的）

定理：任意一个二次型f(x1,x2,...xn)都可以经过非退化线性变换为标准形a*y1^2+b*y2^2+...c*yn^2

二次型的矩阵表示：

二次型的矩阵表示

定理：n*n的任意对称矩阵A，存在n*n的可逆矩阵C使C'AC为对角形（注：C'为C的转秩）

矩阵理论的实质，就是找到一个可逆矩阵C，使C'AC成为对角矩阵！

定理：任意一个二次型f(x1,x2,...,xn) = X'AX都可经非退化的线性变换X = U*Y化为t1*y1^2+t2*y2^2+...+tn*yn^2，（t1,...,tn是A的全部特征值），U为正交矩阵，该线性变换称为正交线性变换

解题步骤：

解题步骤

步骤总结：

1、写出二次型的矩阵A

2、由A的特征多项式，求出特征值；即可写出标准形

3、对不同的特征值，求出对应的特征向量（基础解系）；注意对于多重特征值，需要将特征向量正交化，最后单位化

4、写出正交线形变换（即映射标准形）

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出发点：二次型的标准形不唯一（与所作的非退化线性变换有关），因此我们希望得到有唯一性的特殊形式的标准形，即“规范性”：f(x1,x2,...,xn) = z1^2+z2^2+...+zr^2，即r项系数均为1.

定理：（惯性定理）任意一个秩为r的二次型f(x1,x2,...xn)均可化为规范型，且不论何种非退化的线性变换得到的规范型都唯一

概念：秩为r的标准形/规范型中，正平方项的个数p称为正惯性指数，负平方项的个数r-p称为负惯性指数。前者减去后者的差称为符号差，即p-(r-p)

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概念区分：

矩阵等价：r(A) = r(B)

矩阵相似：r(A) = r(B)，且，特征值相等

矩阵合同：首先，A/B均为对称矩阵，r(A) = r(B)，且，正负惯性指数相等

1、相似 =>等价；合同 => 等价

2、若A/B均为对称矩阵，相似 <=>合同

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正定矩阵：（A必须为对称矩阵）

二次型 f(x1,x2,...,xn) = X'AX ,当X不为O时，恒有：

f > 0, 则称f为正定的； f < 0,则称f为负定的；f>=0,则称f为半正定的；f<=0则称f为半负定的

1、若f（x1,x2,...,xn) = X'AX是正定的，则：

正惯性指数为n；特征值均大于0；A的所有顺序主子式全大于零

2、推论：若f为负定的，则A的顺序主子式满足，(-1)^k*顺序主子式 > 0

3、若A为正定矩阵，则：

k*A为正定矩阵；A^(-1)为正定矩阵；A的伴随矩阵A*为正定矩阵；A^k为正定矩阵；C'AC为正定矩阵（C为可逆矩阵，因为非退化的线性变换保持二次型的正定性不变）；

A/B为同阶正定矩阵，则A+B为正定矩阵；将A和B放在对角处的大矩阵，也为正定矩阵.

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TIPS：本文只是个人对过去的总结，不保证简洁性、系统性、易懂性。如需交流：zhejiangdaxue2011(微信号）