逻辑回归 logistics regression

2021-01-05 本文已影响0人 Forever锋

逻辑回归 logistics regression 公式推导

逻辑回归虽然名字里面有回归，但是主要用来解决分类问题。

一、线性回归（Linear Regression）

线性回归的表达式：

线性回归对于给定的输入 x，输出的是一个数值 y ，因此它是一个解决回归问题的模型。

为了消除掉后面的常数项b，我们可以令

同时

也就是说给x多加一项而且值恒为1，这样b就到了w里面去了，直线方程可以化简成为：

二、分类问题（Classification）

二分类问题就是给定的输入 x，判断它的标签是0类还是1类。二分类问题是最简单的分类问题。我们可以把多分类问题转化成一组二分类问题。比如最简单的是OVA(One-vs-all)方法，比如一个10分类问题，我们可以分别判断输入 x 是否属于某个类，从而转换成10个二分类问题。

因此，解决了二分类问题，相当于解决了多分类问题。

三、如何用连续的数值去预测离散的标签值呢？

线性回归的输出是一个数值，而不是一个标签，显然不能直接解决二分类问题。那我如何改进我们的回归模型来预测标签呢？

一个最直观的办法就是设定一个阈值，比如0，如果我们预测的数值 y > 0 ，那么属于标签A，反之属于标签B，采用这种方法的模型又叫做感知（Perceptron）。

另一种方法，我们不去直接预测标签，而是去预测标签为A概率，我们知道概率是一个[0,1]区间的连续数值，那我们的输出的数值就是标签为A的概率。一般的如果标签为A的概率大于0.5，我们就认为它是A类，否则就是B类。这就是我们的这次的主角逻辑回归模型 (Logistics Regression)。

四、逻辑回归（logistics regression）

明确了预测目标是标签为A的概率。

我们知道，概率是属于[0,1]区间。但是线性模型 $f(x)=w^Tx$ 值域是 $（-∞，+∞ ）$ 。

我们不能直接基于线性模型建模。需要找到一个模型的值域刚好在[0,1]区间，同时要足够好用。

于是，选择了我们的sigmoid函数。

它的表达式为：

$\sigma (x)=\frac{b}{1+e^{-x} }$

它的图像：

sigmoid函数

这个函数的有很多非常好的性质，一会儿你就会感受到。但是我们不能直接拿了sigmoid函数就用，毕竟它连要训练的参数 w 都没得。

我们结合sigmoid函数，线性回归函数，把线性回归模型的输出作为sigmoid函数的输入。于是最后就变成了逻辑回归模型：

假设我们已经训练好了一组权值 $w^T$ 。只要把我们需要预测的x代入到上面的方程，输出的y值就是这个标签为1的概率，我们就能够判断输入数据是属于哪个类别。

接下来就来详细介绍，如何利用一组采集到的真实样本，训练出参数w的值。

五、逻辑回归的损失函数（Loss Function）

损失函数就是用来衡量模型的输出与真实输出的差别。

假设只有两个标签1和0， y的取值为0或1。我们把采集到的任何一组样本看做一个事件的话，那么这个事件发生的概率假设为p。我们的模型y的值等于标签为1的概率也就是p。

$P_{y=1} =\frac{1}{1+x^{-w^Tx} } =p$

因为标签不是1就是0，因此标签为0的概率就是： $P_{y=0}=1-p$ 。

我们把单个样本看做一个事件，那么这个事件发生的概率就是：

这个函数不方便计算，它等价于:

解释下这个函数的含义，我们采集到了一个样本 $(x_{i} ,y_{i})$ 。对这个样本，它的标签是 $y_{i}$ 的概率是 $p^{y_{i}}(1-p)^{1-y_{i}}$ 。（当y=1，结果是p；当y=0，结果是1-p）。

如果我们采集到了一组数据一共N个，

{ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),…,(x_{N},y_{N})$ }，这个合成在一起的合事件发生的总概率怎么求呢？其实就是将每一个样本发生的概率相乘就可以了，即采集到这组样本的概率：

注意 $P_{总}$ 是一个函数，并且未知的量只有w（在p里面）。

由于连乘很复杂，我们通过两边取对数来把连乘变成连加的形式，即：

其中， $p=\frac{1}{1+e^{-w^{T}x}}$

这个函数F(w)又叫做它的损失函数。损失函数可以理解成衡量我们当前的模型的输出结果，跟实际的输出结果之间的差距的一种函数。这里的损失函数的值等于事件发生的总概率，我们希望它越大越好。但是跟损失的含义有点儿违背，因此也可以在前面取个负号。

六、最大似然估计MLE(Maximum Likelihood Estimation)

我们在真实世界中并不能直接看到概率是多少，我们只能观测到事件是否发生。也就是说，我们只能知道一个样本它实际的标签是1还是0。那么我们如何估计参数w跟b的值呢？

最大似然估计MLE(Maximum Likelihood Estimation)，就是一种估计参数w 的方法。在这里如何使用MLE来估计w呢？

在上一节，我们知道损失函数F(w)是正比于总概率 $P_{总}$ 的，而F(w)又只有一个变量w。也就是说，通过改变w的值，就能得到不同的总概率值 $P_{总}$ 。那么当我们选取的某个 $w^*$ 刚好使得总概率 $P_{总}$ 取得最大值的时候。我们就认为这个 $w^*$ 就是我们要求的w的值，这就是最大似然估计的思想。

现在我们的问题变成了，找到一个 $w^*$ ，使得我们的总事件发生的概率，即损失函数F(w)取得最大值，这句话用数学语言表达就是：

七、求F(w)的梯度 $\Delta F(w)$

梯度的定义

我们知道对于一个一维的标量x，它有导数。

对一个多维的向量

来说，它的导数叫做梯度，也就是分别对于它的每个分量求导数

接下来请拿出纸笔，一起动手来推导出 $\Delta F(w)$ 的表达式。请尽量尝试自己动手推导出来，如果哪一步不会了再看我的推导。

七（二）、求梯度的推导过程

为了求出F(w)的梯度，我们需要做一些准备工作。原谅我非常不喜欢看大串的数学公式，所以我尽可能用最简单的数学符号来描述。当然可能不够严谨，但是我觉得更容易看懂。

然后求1-p的值：

p是一个关于变量 w的函数，我们对p求导，通过链式求导法则，慢慢展开可以得：

上面都是我们做的准备工作，总之我们得记住：

并且可以知道

下面我们正式开始对F(w)求导，求导的时候请始终记住，我们的变量只有w，其他的什么 $y_n,x_n$ 都是已知的，可以看做常数。

终于，我们求出了梯度 $\Delta F(w)$ 的表达式了，现在我们再来看看它长什么样子：

它是如此简洁优雅，这就是我们选取sigmoid函数的原因之一。当然我们也能够把p再展开，即：

八、梯度下降法（GD）与随机梯度下降法（SGD）

现在我们已经解出了损失函数F(w)在任意 w处的梯度了，可是我们怎么算出来 $w^*$ 呢？回到之前的问题，我们现在要求损失函数取最大值时候的 $w^*$ 的值：

梯度下降法(Gradient Descent)，可以用来解决这个问题。核心思想就是先随便初始化一个 $w_0$ ，然后给定一个步长 $\eta$ ，通过不断地修改 $w_t$ -> $w_{t+1}$ ，从而最后靠近到达取得最大值的点，即不断进行下面的迭代过程，直到达到指定次数，或者梯度等于0为止。

随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent），如果我们能够在每次更新过程中，加入一点点噪声扰动，可能会更加快速地逼近最优值。在SGD中，我们不直接使用 $\Delta F(w)$ ，而是采用另一个输出为随机变量的替代函数

当然，这个替代函数G(w)需要满足它的期望值等 $\Delta F(w)$ ，相当于这个函数围绕着 $\Delta F(w)$ 的输出值随机波动。

在这里我先解释一个问题：为什么可以用梯度下降法？

因为逻辑回归的损失函数L是一个连续的凸函数（conveniently convex）。这样的函数的特征是，它只会有一个全局最优的点，不存在局部最优。对于GD跟SGD最大的潜在问题就是它们可能会陷入局部最优。然而这个问题在逻辑回归里面就不存在了，因为它的损失函数的良好特性，导致它并不会有好几个局部最优。当我们的GD跟SGD收敛以后，我们得到的极值点一定就是全局最优的点，因此我们可以放心地用GD跟SGD来求解。

好了，那我们要怎么实现学习算法呢？其实很简单，注意我们GD求导每次都耿直地用到了所有的样本点，从1一直到N都参与梯度计算。