功 by 施炜佳

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功

可能用到的符号

$30^{\circ}$ , $\int_{0}^{10}(4+2x)dx$

$30^{\circ}$, $\int_{0}^{10} (4+2x) dx$

知识点

功的定义与作用
恒力的功
变力的功
- 直接积分法
- 动能定理法
- 建模积分法

例题

例1. 恒力与位移同向
某物体，收到沿着 $x$ 轴的恒力 $F=10$ 作用，并沿着 $x$ 轴正向移动了 $\Delta x=5$ 的位移，则该力做功为( )

解答： $W=F\cdot\Delta x=50。$

例2. 恒力与位移同向有固定夹角
某物体，收到沿着 $x$ 轴向上 $30^{\circ}$ 的恒力 $F=10$ 作用，并沿着 $x$ 轴正向移动了 $\Delta x=5$ 的位移，则该力做功为( )

解答： $W=Fcos30°\cdot\Delta x=25\sqrt 3$ 。

例3. 变力：大小不变，夹角 $\theta$ 随位移变化
某物体，收到大小恒定的力 $F=10$ 作用，且它与 $x$ 轴的夹角 $\theta(x)=x$ 。在该力作用下，物体从坐标原点沿着 $x$ 轴正向移动到 $x=5$ ，则该力做功为( )

解答： $dW=Fcosxdx$ ， $W=\int_0^5Fcosxdx=10sin5$ 。

例4. 变力：方向不变，大小 $F$ 随位移变化
某质点在力 $\vec{F}=(4+2x)\ \vec{i}$ 的作用下沿 $x$ 轴作直线运动，在从 $x=0$ 移动到 $x=10$ 的过程中，力所做的功为( )

解答： $dW=(4+2x)dx$ , $W=\int_0^{10}(4+2x)dx=140$ 。

例5. 变力：初末状态知道，用动能定理
质量为 $m$ 的质点在合外力 $\vec{F}=(4+2v)\ \vec{i}$ 的作用下沿 $x$ 轴作直线运动，在从 $v=0$ 移动到 $v=10$ 的过程中，合外力所做的功为( ).

解答： $W=\int_{0}^{10}(4+2v)dx$ 无法计算
动能定理： $W=\frac{1}{2}mv_末^2-\frac{1}{2}mv_初^2=50m$ 。

作业
变力做功的常用方法：动能定理。质量为 $m=2$ 的质点，在 $Oxy$ 坐标平面内运动，其运动方程为 $x=5t$ ， $y=t^{2}$ ，从 $t=2$ 到 $t=4$ 这段时间内，外力对质点作的功为().

解答： $\vec v =5\vec i+2t\vec j$ ， $v_初 =\sqrt{41}$ ， $v_末 =\sqrt{89}$ ，
动能定理 $W=\frac{1}{2}mv_末^2-\frac{1}{2}mv_初^2=48$ 。

作业
变力做功的常用方法：动能定理。质量 $m=1$ 的质点在力 $F=2t\ \vec{i}$ 的作用下，从静止出发沿 $x$ 轴正向作直线运动，则前3秒内该力所作的功为()。

解答： $dp=Fdt$ ， $p=\int_{0}^{3}2tdt=9=mv$ ， $v=9$ 。
$W=\frac{1}{2}mv_末^2-\frac{1}{2}mv_初^2=\frac{81}{2}$ 。

作业
质量 $m=2$ 的物体沿 $x$ 轴作直线运动，所受合外力 $F=1+2x$ 。如果在 $x=0$ 处时速度 $v_{0}=\sqrt{5}$ ；求该物体运动到 $x=4$ 处时速度的大小( )。

解答： $dW=(1+2x)dx$ ， $W=\int_0^4(1+2x)dx=20$ 。
$W=\frac{1}{2}mv_t^2-\frac{1}{2}mv_0^2$ ， $v_t=5$ 。

例6. 建模积分法
一人从深度为 $H$ 的井中提水，起始时桶中装有质量为 $M$ 的水，桶的质量为 $M_{0}$ kg，由于水桶漏水，每升高 $1$ 米要漏去质量为 $a$ 的水。求水桶匀速缓慢地从井中提到井口人所作的功。
以井底为原点，向上为正方向建立 $x$ 轴。
第一步，关于积分微小过程的描述有
(1) 当水桶位于 $x$ 位置时
(2) 当水桶从 $x$ 位置上升到 $x+dx$ 的过程中。
第二步，元功 $F(x)dx$ 应表达为
(3) $(M_{0}+M-xa)gdx$
(4) $(M_{0}+M+xa)dx$
第三步，定积分的写法为
(5) $\int_{0}^{H}F(x)dx$
(6) $\int_{M}^{0}F(x)dx$
以上正确的是( )