統計學(Statistical)重點整理-2

2018-08-24  本文已影响0人  RJ阿杰

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台灣交通大學 統計學(一) Statistics I 唐麗英老師

[統計學筆記及整理]

第三章.機率(Probability)

單元一.機率概念之介紹

第一章與第二章介紹了一些統計概念及統計量。當群體的參數不知時，必須要以樣本的統計量來推論群體的參數，此時就必須知道群體資料分佈的情況。而群體資料分佈的情況，乃是基於機率理論，因此，本單元介紹一些基本的機率概念與機率分佈。

定義一：實驗(Experiment)

實驗是指一個可記錄一些觀察體量測值的過程(Process)。
例 ：

  1. 擲一個銅板一百次
  2. 擲一個骰子十次
  3. 量測某物一百次

定義二：樣本空間(Sample Space,S)

一個實驗的所有可能出現的結果之集合稱為樣本空間。
例 ：

  1. 擲一個骰子一次，S={1,2,3,4,5,6}
  2. 擲一個銅板兩次，S= {(++),(+-),(-+),(--)}
  3. 52張撲克牌抽一張

定義三：事件(Event)

實驗的結果稱為事件，在機率論中，隨機事件（或簡稱事件）指的是一個被賦與機率的事物集合，也就是樣本空間中的子集，當這個事件僅僅包括樣本空間的一個元素（或者說它是一個單元素集合）的時候，稱這個事件為一個基本事件。
例：
1)事件A＝{骰到奇數}＝{1,3,5}、事件B＝{骰到6}＝{6}＝基本事件
2)事件A＝{骰到同一面}＝{(+,+),(-,-)}
3)事件A＝{抽到鬼牌}＝{}＝不可能事件

定義四：事件Ａ的機率：


其中，#(𝑨) 表 A 事件中元素個數，#(𝑺) 表樣本空間中之元素個數。

● 事件 A 與 B 之間有三個可能的關係：
[𝑷(𝑨|𝑩)為B發生的條件下A發生的機率],[𝑷(𝑨,𝑩)為A,B同時發生的機率]

  1. 相依 (dependent) – 事件 A 的發生會受事件 B 的影響，反之亦然。
    𝑷(𝑨,𝑩) = 𝑷(𝑨|𝑩)×𝑷(𝑩) = 𝑷(𝑩|𝑨)×𝑷(𝑨) = P(A∩B)
    𝑷(𝑨|𝑩) = 𝑷(𝑨,𝑩)÷𝑷(𝑩) = 𝑷(𝑩|𝑨)×𝑷(𝑨)÷𝑷(𝑩)
  2. 獨立 (independent) – 事件 A 的發生與事件 B 的發生無任何關係或彼此不會互相影響。
    𝑷(𝑨,𝑩) = 𝑷(𝑨)×𝑷(𝑩) = P(A∪B)
    𝑷(𝑨|𝑩) = 𝑷(𝑨)
    𝑷(𝑩|𝑨) = 𝑷(𝑩)
  3. 互斥 (mutually exclusive) – 若事件 A 與事件 B 不可能同時發生，則兩事件互斥。
    𝑷(𝑨,𝑩) = 0 = P(A∩B) = 0 = A∩B = ∅

例 ：假設兄弟隊與三商隊進行一場棒球賽，在進行 9 局後，可能的結果有：｛兄弟隊贏三商隊、兄弟隊輸三商隊、兄弟隊與三商隊平手｝。
令 A=｛兄弟隊贏三商隊｝， B=｛兄弟隊輸三商隊 ｝， C=｛兄弟隊與三商隊平手｝，則事件 A，B 與 C 之間的關係為何？

ABC互為互斥事件

● 機率三原理：
1)０ ≦ 𝑷(𝑨) ≦ １ 對樣本空間中任一事件 A
2)𝑷(∅)= 0 (無元素(空集合)機率=0)， 𝑷(𝑺)= 1 (樣本空間(所有集合)機率=1)
3)若 𝑨𝟏, 𝑨𝟐, ⋯ 𝑨𝑲 互為互斥事件，則 𝑷(𝑨𝟏 ∪ 𝑨𝟐 ∪ ⋯ ∪ 𝑨𝑲) =𝑷(𝑨1)+𝑷(𝑨2)...+𝑷(𝑨𝑲)

例 ：從五十二張撲克牌隨機抽出一張牌，求以下之機率：
A)抽出一張黑桃
B)抽出一張 K
C)抽出一張黑桃 K
D)抽出一張紅心 Q
E)抽出一張黑桃或 K?

S={♣1,♦1,♥1,♠1,♣2,♦2,♥2,♠2....,♣13,♦13,♥13,♠13}，＃S=52
A) 13／52
B) 4／52
C) 1／52
D) 1／52
E) P(A∪B) - P(A∩B) = ((13+4-1)／52) = 16/52
    = 獨立發生的機率 - 同時發生的機率
    = P(A)+P(B) - 𝑷(𝑨|𝑩)×𝑷(𝑩) = (13/52)+(4/52)-((4/1)*(4/52))
    = (17/52) - (1/52) = 16/52

例 ：從五十二張撲克牌隨機抽出二張牌，求以下之機率：
A)出現黑桃

S={♣1,♦1,♥1,♠1,♣2,♦2,♥2,♠2....,♣13,♦13,♥13,♠13}，＃S=52
A) (13/52)*(39/51)+(39/52)*(13/51)+(13/52)*(12/51)=15/34 = 0.4411

例 ：從五十二張撲克牌隨機抽出一張牌放回，重複2次，求以下之機率：
A)出現黑桃
B)出現 K
C)抽中黑桃後抽中紅心的機率
D)抽中黑桃同時又抽中紅心的機率
E)抽中黑桃後抽中K的機率
F)其一個為黑桃後有出現K的機率

S={♣1,♦1,♥1,♠1,♣2,♦2,♥2,♠2....,♣13,♦13,♥13,♠13}，＃S=52
A) ((13/52)*(13/52))+((13/52)*(39/52))+((39/52)*(13/52)) = 7/16 = 0.4375
B) ((4/52)*(4/52))+((4/52)*(48/52))+((48/52)*(4/52)) = 25/169 = 0.1479
C) 𝑷(𝑨|𝑩) = 𝑷(𝑨) = 13/52
D) 𝑷(𝑨)×𝑷(𝑩) = (13/52)*(13/52)=1/16
E) 𝑷(𝑨|𝑩) = 𝑷(𝑨) = 4/52
F) (1/4)*(4/52)+(1/4)*(48/52)+(3/4)*(4/52)=(1/52)+(12/52)+(3/52)=16/52=4/13

例 ：假設生男生女的機率相等，則一個有三個小孩的家庭中，恰僅有一個女孩子的機率？

例 ：假設生男生女的機率相等，則一個有兩個小孩的家庭中，條件B[大的女孩是女生]，條件A[兩個都是女生]，如果大的女孩是女生，兩個都是女生機率為何?

P(A|B)=P(A,B)/P(B)=𝑷(𝑩|𝑨)*P(A)/P(B) = 1*((1/4)/(1/2))=1/2

補充: 排列組合

定義五：互補事件

任一事件 A 的互補事件為「A 不會發生的事件」，以 A’表示。
※𝑷(𝑨′) = 𝟏 − 𝑷(𝑨)

例 ：滾動兩個骰子，求兩個骰子出現不同點數的機率？

    S＝ {(1,1),(1,2)..(1,6)..(6,6))}，＃S＝36
    𝑷(𝑨’)＝ {(1,1),(2,2)....(6,6)}，＃𝑷(𝑨’)＝6
    𝑷(𝑨)＝ 1－(6/36)＝5/6

條件機率(Conditional Probability)

條件機率 𝑷(𝑨|𝑩) 表在已知 B 事件已發生的條件下，A 事件發生的機率。

    {預測為晴天}=P(B),{真正為晴天}=P(A), 𝑷(𝑨|𝑩)=?
    𝑷(𝑨|𝑩)=P(A,B)／P(B) = (P(B|A)＊P(A)／(P(B|A)＊P(A)+P(B|~A)＊P(~A))
    = 0.8＊0.6／(0.8＊0.6+0.4＊(1-0.6)) = 3/4 = 75%

    {檢驗為陽性}=P(B),{得到癌症}=P(A), 𝑷(𝑨|𝑩)=?
    𝑷(𝑨|𝑩)=P(A,B)／P(B) = (P(B|A)＊P(A)／(P(B|A)＊P(A)+P(B|~A)＊P(~A))
    = 0.99＊0.0001／(0.99＊0.0001+0.01＊0.9999) = 0.98%

單元二.機率分佈 (Probability Distributions)

數值變數的兩種型式：

  1. 離散型
  2. 連續型

定義：離散型隨機變數(Discrete Random Variable)

定義：連續型隨機變數(Continuous Random Variable)

● 離散型隨機變數之機率分佈

定義：離散型隨機變數之機率分佈，是以圖或表來表示隨機變數 X 的每一可能值之相關機率。

在傳統的統計學裡，大寫通常表示隨機變數，小寫表示已實現值。

S={(++),(+-),(-+),(--)}

第四章.離散型隨機變數(Discrete Random Variables)

離散型機率分佈

二項分佈(Binomial Probability Distribution)

• n 表全部的試行數
• x 表在n次試行中成功的次數；
• C(n, x) 表n次試行中取 x 次成功次數的組合數；
• p 表每一試行成功的機率；
• q=1-p 表每一試行失敗的機率。

(a)8個良品的機率(x=8)，n=10(滿足1)，良品.不良品(滿足2)，p=0.9(滿足3)，q=0.1(滿足4)
-------------------------------------------------
(a)2個不良品的機率(x=2)，n=10(滿足1)，良品.不良品(滿足2)，p=0.1(滿足3)，q=0.9(滿足4)
(b))少於兩個不良品數之機率(x=1,x=0)，n=10(滿足1)，良品.不良品(滿足2)，p=0.1(滿足3)，q=0.9(滿足4)

超幾何分佈(Hypergeometric Probability Distribution)

• N = 群體總數(total number of elements)
• a = 群體中成功的元素個數( Number of S’s in the N elements)
• n = 從群體中抽取n個元素( Number of elements drawn)
• x = 抽取n個元素中成功的個數( Number of S’s drawn in the n
elements)

波瓦松分佈(Poisson Probability Distribution)

• μ = 波瓦松分佈事件在某一特定時間(或面積)內發生的平均數
• λ = 單位時間(或面積)內發生的平均數
• t = 特定之時間(或面積)
• e = 2.718281828

x = 氣泡數目，λ = 0.004 1/ft2，t = 100 ft2，λt = 0.004＊100 = μ =0.4

x = 顧客數目，λ = 0.75 /min，t =6 min，λt = 0.75*6 = 4.5
(x=2) = (x≤2) - (x≤1)


負二項分佈(Negative Binomial Probability Distribution)

  1. 某一實驗獨立、重複的試行 y 次
  2. 每一試行均產生兩結果：成功(Success)或失敗(Failure)
  3. 每一試行成功的機率均為 p，失敗的機率為(1-p)或 q
  4. 我們對出現第 r 次成功所經歷的試行次數 y 有興趣

• p = 每一試行成功的機率
• q = 每一試行失敗的機率
• y = y =觀察到rth成功之前的試驗次數。

幾何分佈(Geometric Probability Distribution)

•p =單次伯努利試驗的成功概率
•q = 1- p
•y =觀察到第一次成功之前的試驗次數

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