[7].了解下Opengl的矩阵变换吧

2020-07-16 本文已影响0人 NealDN

`变换`

在OpenGL中，所有的变换都是由缩放 平移 旋转 这三种基本的变换方式得到的，实际上，是对片段的顶点所进行的操作，在图形简单，顶点很少的情况下，对每个顶点进行操作是可行的，但涉及到大量的顶点数据时，这种操作就显得笨拙且效率低下，所以引入矩阵与向量 这两个数学概念(数学果然不愧是工具),一次性的操作所有的顶点，这样不仅高效，而且优雅(手动狗头).

`向量`

向量是由一个方向和大小所构成的，是一个矢量（有方向）单位，所以在计算的时候，单纯的相加是没有意义的(比如，向上走了10步，再向右走10步，距离起点的距离并不是20步),需要使用特定的方式来处理向量的运算。在数学中，会在字母上加上一个横线(或箭头)来表示向量 $\vec{v}$

`向量相加`

向量相加并不是单纯的对向量对大小进行相加，还要考虑到向量的方向。
$\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix} , \vec{j} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{pmatrix} , \vec{k} = \vec{v} + \vec{j} = \begin{pmatrix} 1 + 4 \\ 2 + 5 \\ 3 + 6 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \\ \end{pmatrix}$
$\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{pmatrix} , \vec{j} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix} , \vec{k} = \vec{v} - \vec{j} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 5 - 2 \\ 6 - 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \\ \end{pmatrix}$

最后得到的结果分别是从原点(0,0,0)指向(5,7,9)的向量和从原点(0,0,0)指向(3,3,3)的向量.

`向量相乘`

两个向量相乘是一种很奇怪的情况。普通的乘法在向量上是没有定义的，因为它在视觉上是没有意义的。但是在相乘的时候我们有两种特定情况可以选择：一个是点乘(Dot Product)，记作 $\vec{v}$ ⋅ $\vec{k}$ ，另一个是叉乘(Cross Product)，记作 $\vec{v}$ x $\vec{k}$ 。

点乘
在计算时，点乘的结果为两个向量的大小乘以它们夹角之间的余弦值
$\vec{v} · \vec{j} = ||\vec{v}| · ｜\vec{j}｜| · \cos θ$
点乘的结果是个标量（相对于向量而言，没有方向）

叉乘
叉乘只在3D空间中有定义，它需要两个不平行向量作为输入，生成一个正交于两个输入向量的第三个向量。如果输入的两个向量也是正交的，那么叉乘之后将会产生3个互相正交的向量。

`矩阵`

矩阵就是一个矩形的数字、符号或表达式数组。
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix}$
上面的这个表达式就是一个2×3矩阵

`矩阵相加`

矩阵的相加需要对矩阵的每一个位置进行加减，最终得到一个新的矩阵
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 1 & 2 + 2 & 3 + 3 \\ 4 + 4 & 5 + 5 & 6 + 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ \end{bmatrix}$

`矩阵相减`

矩阵的减法同它的加法
$\begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 4 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-1 & 2 - 2 & 1-3 \\ 6 - 4 & 5 - 5 & 4 6 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 2 & 0 & -2 \\ \end{bmatrix}$

`矩阵乘法`

在矩阵中，一般是以点乘的形式对矩阵进行乘法运算

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*5 + 2*7 & 1*6+2*8 \\ 3*5+4*7 & 3*6+4*8 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \\ \end{bmatrix}$