映射、函数、反函数概念+反函数求导法则在求值中的应用

2019-07-21 本文已影响0人 ranerr_

映射概念

定义设 $X$ , $Y$ 是两个非空集合,如果存在一个法则 $f$ ,使得对 $X$ 中每个元素 $x$ ,按法则 $f$ ,在 $Y$ 中有唯一确定的元素 $y$ 与之对应,那么称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射,记作 $f:X\to Y,$ 其中 $y$ 称作元素 $x$ (在映射 $f$ 下)的像,并记作 $f(x)$ ,即 $y=f(x),$ 而元素 $x$ 称为元素 $y$ (在映射 $f$ 下的)一个原像;集合 $X$ 成为映射 $f$ 的定义域,记作 $D_f$ ,即 $D_f=X$ ; $X$ 中所有元素的像组成的集合称为映射 $f$ 的值域,记作 $R_f$ 或 $f(X)$ ,即 $R_f=f(X)=\{ f(x)|x\in X \}.$

单射若对 $X$ 中任意两个不同元素 $x_1\not =x_2$ ,它们的像 $f(x_1)\not =f(x_2)$ ,则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的单射.单射意味着对于任意 $y\in R_f$ 在 $D_f$ 内有唯一原像.

映射又称为算子.根据集合 $X$ , $Y$ 的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.其中从实数集(或其子集) $X$ 到实数集 $Y$ 的映射称为定义在 $X$ 上的函数.

逆映射

设 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的单射,则由定义,对每个 $y \in R_f$ ,有唯一的 $x\in X$ ,适合 $f(x)=y$ .于是,我们可以定义一个从 $R_f$ 到 $X$ 的新映射 $g$ ,即 $g:R_f\to X,$ 对每个 $y\in R_f$ ,规定 $g(y)=x$ ,这 $x$ 满足 $f(x)=y$ .这个映射 $g$ 称为 $f$ 的逆映射,记作 $f^{-1}$ .其定义域 $D_{f^{-1}}=R_f$ ,值域 $R_{f^{-1}}=X$ .

函数概念

定义设数集 $D\subset \mathbb{R}$ ,则称映射 $f:D\to \mathbb{R}$ 为定义在 $D$ 上的函数,通常简记为 $y=f(x), x\in D,$ 其中 $x$ 称为自变量, $y$ 称为因变量, $D$ 称为定义域,记作 $D_f$ ,即 $D_f=D$ .

反函数

设函数 $f:D\to f(D)$ 是单射,则它存在逆映射 $f^{-1}:f(D)\to D$ ,称此映射 $f^{-1}$ 为函数 $f$ 的反函数.
定理若 $f$ 是定义在 $D$ 上的单调函数,则 $f:D\to f(D)$ 是单射,于是 $f$ 的反函数 $f^{-1}$ 必定存在,且 $f^{-1}$ 也是 $f(D)$ 上的单调函数.证明见同济高等数学P10.

反函数求导法则

设函数 $x=f(y)$ 在区间 $I_y$ 内单调、可导,且 $f'(y)\not =0$ ,那么它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在区间 $I_x=\{x|x=f(y), y\in I_y\}$ 内也可导,且 $[f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)}\ \ 或\ \ \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}.$ 证明见同济高等数学P87.