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积分题11

2021-01-05  本文已影响0人  Raow1
2019-2-5. 计算曲面S=\{(x,y,z) \in \mathbb R ^3 : z=x^2+y^2 \leq 2x \}的质量。密度为\rho = \frac{z}{\sqrt {1+4z}}。坐标系为笛卡尔直角坐标系。

由题，即计算\iint\limits_{S} \rho \mathrm d S
\begin{align*} \iint\limits_{S} \rho \mathrm d S &= \iint\limits_{D_{xy}} \frac{x^2+y^2}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}} \sqrt{1+4x^2+4y^2} \mathrm dx \mathrm dy \\ &= \iint\limits_{x^2+y^2 \leq 2x} (x^2+y^2) \mathrm dx \mathrm dy \\ &\xlongequal[y=\rho \sin{\theta}]{x=\rho \cos{\theta}} \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm d \theta \int_0^{2\cos \theta} \rho ^3 \mathrm d \rho \\ &= 8 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^4 \theta \mathrm d \theta \\ &= \frac{3\pi}{2} \end{align*}
或者在换元那一步改变一下，就不需要用到点火公式：
\begin{align*} \iint\limits_{S} \rho \mathrm d S &= \iint\limits_{D_{xy}} \frac{x^2+y^2}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}} \sqrt{1+4x^2+4y^2} \mathrm dx \mathrm dy \\ &= \iint\limits_{x^2+y^2 \leq 2x} (x^2+y^2) \mathrm dx \mathrm dy \\ &\xlongequal[y=\rho \sin{\theta}]{x=\rho \cos{\theta}+1} \int_0^1 \rho \mathrm d \rho \int_0^{2\pi} (\rho ^2 +1 + 2 \rho \cos \theta) \mathrm d \theta \\ &= 2\pi \int_0^1 (\rho ^3 + \rho) \mathrm d \rho \\ &= \frac{3\pi}{2} \end{align*}

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