[读书笔记]假设检验
目录
- 什么是假设检验？
- 假设检验的一般步骤
- 第一类错误和第二类错误
阅读本文，需要对抽样、总体、抽样分布有一定的了解，可以参考：[读书笔记] 关于样本和总体，需要了解哪些？
什么是假设检验？
我们通过书中的一个例子，来说明什么是假设检验以及为什么需要对假设做检验。
例子：
某制药公司宣称，改公司研发的一款治疗打鼾的药，可以使患者两周内的治愈率为90%。某医院医生，在临床观察中抽取了15名患者发现：两周治疗后，治愈的患者数为11，未治愈患者数为4。根据制药公司都说法，这15名患者中，应该有14人治愈。现在问题来了，到底该制药公司发布的是虚假广告，还是医生抽样数据有问题？
我们可以对制药公司的断言进行检验：首先假设制药公司的断言属实，然后出这个断言出发对现有的证据进行检验，最后做出决策。这个过程，称为假设检验。
假设检验的一般步骤
假设检验一般分为以下几个步骤，下来我们分别来看看。
1. 确定要进行检验的假设
这里有两个很重要的概念：原假设和备选假设。原假设是我们要对其进行检验的断言，用表示；与原假设对立的是备选假设，用
表示。进行假设检验时，假定原假设为真；如果有足够的证据反驳原假设，则拒绝原假设，接受备选假设。
对于上述的例子，原假设和备选假设分别是：
原假设：药物能够在两周内治愈90%的患者，记作：
备选假设：药物在两周内治愈患者少于90%，记作：
2. 选择检验统计量
检验统计量即用于进行假设检验的统计量，我们根据原假设选择检验统计量。现在需要对『药物能够在两周内治愈90%的患者』做检验，这里检验统计量为样本人数，用X表示。由于X服从二项分布，记作：
3. 确定拒绝域
样本中，治愈的患者数越少，那么可用于反驳原假设的证据就越有力。但问题是：如何判断判断用于反驳的证据足够有力？这时候就引入了几个概念：显著水平、临界值和拒绝域。下面我们结合下图来说明。
显著性水平、临界值、拒绝域
显著性水平：希望样本结果的不可能程度达到多大时，拒绝原假设。这是一个概率值，使用表示，值通常取5%。（看着好像有点云里雾里）
我们结合上述例子来理解：现在原假设是药物能够在两周内治愈90%的患者，理想情况下治愈人数是90%*15=14。如果说，现在治愈人数小数14人，并且治愈人数越小，我们越有信息否定原假设。至于说治愈人数要多小才能拒绝，这个就是通过显著性水平来决定。上面说到，显著性水平是一个概率值，这个概率值对应到样本的抽样分布上，会对应一个值c （临界值），使得 (拒绝域)。这里的值c就是临界值，并且治愈人数小于c的概率是0.05。所以说，如果现在抽样结果是治愈人数小于c，我们就有理由在当前条件下拒绝原假设。
根据备选假设的不同会出现不同方向的拒绝域，拒绝域可能在左尾，也可能在右尾，或者左右都存在。拒绝域是用于拒绝原假设，那反过来理解的话，其实拒绝域就是备选假设的接受域。因此根据备选假设不同，拒绝域也就不同：
备选假设 - 概率小于某个值
单尾检验 - 左尾.png
备选假设 - 概率大于某个值
单尾检验 - 右尾.png
备选假设 - 概率不等于某个值
双尾检验.png
4. 求出p值
p值是某个小于或者等于拒绝域方向上的一个样本数值的概率。或者通俗点讲：p值是一个概率，这个概率是在假设原假设为真时，你所得到的观察数据的一个概率。（How often you could get the observed test statistic if the null hypothesis was true. This is the p-value）
仍然以上面的例子为例：在计算中，一般不需要去求c值，只需要根据样本抽样分布情况，求出也就是p值即可，（这里的11，是上文提到的医生抽样观察的结果是11个人治愈，也就是对应样本中的治愈人数）。例子中，样本人数服从二项分布，因此可以根据二项分布的概率计算求出p值。
5. 判断样本结果是否位于拒绝域中？
判断是否位于拒绝域中，就是比较p值与α进行比较，所以样本结果位于拒绝域的条件是：
- 左尾：p < α
- 右尾：p < α
- 双尾：p < α/2 （有待验证）
6. 做出决策
根据上一个步骤的计算结果，如果p值落在拒绝域以内，则拒绝原假设，接收备选假设；否则，接受原假设，拒绝备选假设。
第一类错误和第二类错误
前面介绍了假设检验是在某一个显著性水平下进行的。换句话说，完成检验后得出的结论（接受或者否定假设）也不是一个事实，这个结论仅仅也是一个推断，只不过我们对这个推断有比较大的信心（概率）相信结论是正确的。既然是推断，那就有推断错误的时候，这就引出了两类错误：
- 第一类错误：原假设是正确的，但是被错误地拒绝了
- 第二类错误：原假设是错误的，但是被错误地接受了
之所以需要指出第一类和第二类错误，是为了引出功效的概念。功效也是一种概率，是原假设错误的情况下，拒绝原假设的概率：
