17-最小生成树

2019-09-29  本文已影响0人  董泽平

最小生成树

引论：研究最小生成树之前，我们还是先搞清楚什么是生成树。子图包含原图的所有顶点且边数等于顶点数减去一，并且要求子图不产生回路。

总结起来就三点：1.包含图所有顶点。2.边个数等于顶点个数减去一。3.围成的新图不能产生回路(就是树了)

概念是死板的，我来画图演示。

tree16.jpg

根据概念，我们知道生成树的是不唯一的,我们列举出3种生成树。</br>

深度优先遍历
tree17.jpg

忘记深度优先遍历可以去看看我写的深度遍历算法，此时利用深度遍历所有顶点就可以构成生成树。

广度优先遍历
tree18.jpg
自己手动随便构造
tree19.jpg

好了，看了上面的三种生成树，我们就可以讲解我们的最小生成树了，最小生成树就是在构造生成树时，原图的边是带权值的，我们构造的生成树权值之和要求最小，此时的生成树就是最小生成树。

最小生成树主要有两类经典算法，一个是普利姆算法，一个是克鲁斯卡尔算法

Prime算法

Prime算法直接口述，你可能会懵逼，且不好表述，直接上它的算法步骤吧。

  1. 随便选择一个顶点作为起点，然后设置数组dis,存储其余点到起点的距离，自己到自己距离0，两个点之间没有直接边相连的距离是无穷大
  2. 经过N此操作(N=顶点数-1)
    1. 选择一个未被选择的点k，且dis[k]是当前dis数组最小的
    2. 标记点k被选择
    3. 以k为中介点，但凡未被访问点x点k的距离小于之前dis[x]的距离，就更新dis[x]为点x到点k的距离
  3. 得到最小生成树。

看下面这个过程，大家感受下算法步骤吧


tree22.jpg

1.初始化时各个顶点对应下标

顶点 A B C D E
下标 0 1 2 3 4

2.假设我们从A开始.设置权值数组存储各个点到A点距离.设置前驱下标数组存储各个点前驱下标，初始所有点的前驱下标都是指向A，所以初始化为A下标0设置标记点数组，用来标记每个点是否被用，0表示未使用，1代表被使用。

3.0初始的状态,点A是起点，标记被访问

顶点 A B C D E
下标 0 1 2 3 4
权值 0 6 1 4 4
前驱下标 0 0 0 0 0
标记点 1 0 0 0 0

3.1此时权值数组最小的权值是1，(每次都是从未被访问点中找最小权值)对应的点是C，所以第一次选择点C，c的前驱下标是0,代表它前驱是A，所以选择A-C边，修改C点被标记，设置标记点是1，然后以C点位基础，逐个遍历未被访问点，首先是B，点C到点B的权值是无穷，所以不小于权值6,不修改，接着是点D，点C到点D的权值是8，大于权值数组值4，也不修改。接着是点E，点E到点C的距离也是无穷大，也不修改，结果如下表

顶点 A B C D E
下标 0 1 2 3 4
权值 0 6 1 4 4
前驱下标 0 0 0 0 0
标记点 1 0 1 0 0

3.2继续选择权值数组里最小的是4，对应的是d和e，随便选择一个点，我们选择d,标记d被用，d的前驱下标是0，对应点A，所以打印A-D,接着遍历未被访问点到d点的距离，首先是点B，点B到点D的距离是2，小于当前权值数组的6，修改B对应权值是2，并且修改B的前驱下标是D的下标3。接着是点E，点E到点D的距离是无穷大，不修改。对应结果如下表

顶点 A B C D E
下标 0 1 2 3 4
权值 0 2 1 4 4
前驱下标 0 3 0 0 0
标记点 1 0 1 1 0

3.3继续选择权值数组最小的是2，对应点是b,查看B的前驱下标是3，对应点D，打印B-D标记b被使用，遍历未被访问的点，首先是E，点E到点B的距离是2，修改权值数组E的权值是2，并且修改E的前驱点下标是b的下标1.结果如下表

顶点 A B C D E
下标 0 1 2 3 4
权值 0 2 1 4 2
前驱下标 0 3 0 0 1
标记点 1 1 1 1 0

<p style=color:blue>3.4继续选择权值数组最小的是2，对应点e,e的前驱下标是1，打印b-e,设置E被访问，此时所有点都被访问到，结束</p>

顶点 A B C D E
下标 0 1 2 3 4
权值 0 2 1 4 2
前驱下标 0 3 0 0 1
标记点 1 1 1 1 1

最终我们选择的边依次是a--c,a--d,b--d,b--e;构成了最小生成树

//最下生成树-Prime
void Prim(struct MGraph *g, char obj)
{
    int index = 0, min, k;
    //标记数组temp（记录顶点是否被访问）
    int *temp = (int*)malloc(sizeof(int)*g->numVertes);
    //距离数组dis（标记当前最短距离）
    int *dis = (int*)malloc(sizeof(int)*g->numVertes);
    //前驱数组pre（标记每个点前驱节点）
    int *pre = (int*)malloc(sizeof(int)*g->numVertes);
    //寻找起点的下标
    for (int i = 0; i < g->numVertes; i++) {
        if (g->vetes[i] == obj)
        {
            index = i;
            break;
        }
    }
    printf("%d", index);
    //初始化数组
    for (int i = 0; i < g->numVertes; i++)
    {
        dis[i] = g->data[index][i];
        temp[i] = 0;//未访问
        pre[i] = index;//前驱都是起点
    }
    temp[index] = 1;
    for (int i = 1; i < g->numVertes; i++)
    {
        min = MAX;
        //找出最小权值的边,并标记点
        for (int j = 0; j < g->numVertes; j++)
        {
            if (temp[j] == 0 && dis[j] < min)
            {
                min = dis[j];
                k = j;
            }
        }
        //输出边
        printf("%c-->%c\n", g->vetes[index], g->vetes[k]);
        //修改dis,temp,pre数组
        temp[k] = 1;
        index = k;
        for (int j = 0; j < g->numVertes; j++)
        {
            if (temp[j] == 0 && g->data[k][j] < dis[j])
            {
                dis[j] = g->data[k][j];
                pre[j] = k;
            }
        }
    }
}

Krusual算法

Krusual理解起来十分简单，就是将所有边按照权值进行排序(升序)，然后从第一个边开始取，每次都判断加入新边之后是否构成回路，当遍历完所有边时，也就生成了最小生成树。

tree22.jpg

1.首先按照边的权值大小进行排序

编号 起点 终点 权重
1 A C 1
2 B E 2
3 B D 2
4 A D 4
5 A E 4
6 A B 6
7 C D 8

2.逐个边的加入，判断每次加入是否构成回路

最后结果如下图(最小生成树)

tree20.jpg

问题：如何判断是否构成回路？在手动时，我们可以自己发现是否有回路，但是在计算机中？这里又出现了一个经典的算法，并查集算法。

并查集算法

我来举例子分析，你就知道这个算法的巧妙了。

假设有1-6号的人，每次输入两个随机的编号对应1-6号某两个人，输入n此后，我来给你随机的两个人，你需要判断出这两个人是否认识。例如我输入(1,2)(3,4)(5,6)表示1号与2号认识，3号与4号认识，5号与6号认识。此时我如果给你(3,5)，你肯定知道这两个人不认识。

接下来用并查集来计算两个人是否认识。我们输入的序列对依次是(1,3)(5,6)(2,3)(2,5)

tree21.jpg

看上面整个过程，最后的树就是一个完整的关系树了，此时我问你3和6是否认识，你只需要判断3和6在一颗树？当然它两就在一棵树上。这个就是并查集算法了，它可以用来判断回路问题。你可能问？为什么可以？算了，还是看下图演示吧。

tree23.jpg

总结：所以我们利用并查集去每次加入新边时，判断这个边两个顶点是否在一棵树，不在一棵树，就证明加入当前边不构成回路，反之亦然。

//最小生成树-Kruskal
void Kruskal(struct MGraph *g)
{
    int min = MAX, temp, num = 0,begin,end;
    struct Edge swap;
    struct Edge *edge = (struct Edge*)malloc(sizeof(struct Edge)*g->numEdges);
    struct UFStree *Utree = (struct UFStree*)malloc(sizeof(struct UFStree)*g->numVertes);
    //初始化edge，Utree
    for (int i = 0; i < g->numVertes; i++)
    {
        Utree[i].high = 0;
        Utree[i].index = i;
        Utree[i].parent = i;
        for (int j = 0; j < g->numVertes; j++)
        {
            if (i<j && g->data[i][j] != 0 && g->data[i][j] != MAX)
            {
                edge[num].begin = i;
                edge[num].end = j;
                edge[num].w = g->data[i][j];
                num++;
            }
        }
    }
    //按照边的权值排序(从小到大)
    for (int i = 0; i < num; i++)
    {
        min = edge[i].w;
        temp = i;
        for(int j = i+1; j < num; j++)
        {
            if (edge[j].w < min)
            {
                min = edge[j].w;
                temp = j;
            }
        }
        if (temp != i)//值拷贝
        {
            swap = edge[i];
            edge[i] = edge[temp];
            edge[temp] = swap;
        }
    }
    //进行逐个边的筛选
    for (int i = 0; i < g->numEdges; i++)
    {
        begin = edge[i].begin;
        end = edge[i].end;
        if (find_Tree(Utree, begin) != find_Tree(Utree, end))
        {
            union_Tree(Utree, begin, end);
            printf("%c-->%c-->%d\n", g->vetes[begin], g->vetes[end],g->data[begin][end]);
        }
    }
    
}

//并查集的查找--根节点
int find_Tree(struct UFStree *tree, int num)
{
    if (tree[num].parent == num)//到根了//
    {
        return num;
    }
    else
    {
        return find_Tree(tree, tree[num].parent);
    }
}

//并查集节点的合并
void union_Tree(struct UFStree *tree, int x, int y)
{
    //先找到各自根，判断高度
    int xP = find_Tree(tree, x);
    int yP = find_Tree(tree, y);
    if (tree[xP].high > tree[yP].high)
    {
        tree[y].parent = xP;
    }
    else if (tree[xP].high < tree[yP].high)
    {
        tree[x].parent = yP;
    }
    else
    {
        tree[y].parent = xP;
        tree[xP].high++;
    }
}

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