《教育的目的》第六章 数学课程＿张艳桃总结
数学到底是不是深奥艰涩呢？对于数学家来说，这的确是一个复杂的问题。在一般人的观念中，数学的确让人感到高深莫测。但是我觉得深奥艰涩并不意味着数学课程有多难，只是说数学课程的应用有着较大的局限性，与人们的思想意识较少发生直接联系。数学是教育过程中不可缺少的一个环节，在教育中应该加强数学教育。正是数学的抽象特质赋予了数学永恒的真理。
数学怎样在人文教育中有用？数学是教育过程中不可缺少的一个环节，但在现实情境中，我们往往发现人们的数学素养普遍偏低。加强数学教育并不是说要盲目地学习更多的数学知识，而是首先要理解问题所在，找出阻碍数学广泛应用的真正原因。在数学教育的任何一个阶段，我们都要严格排除一些不合时宜的因素，呈现给年轻学生的科学不应显得深奥。科学教育应该直接地、简单地传递若干具有重要意义的一般原理。数学教育的根本目的是为了让学生熟悉抽象的思维方式，懂得理论的实际运用，掌握方法的恰当使用。数学教材的编排非常重要，关系到学生能否从中理解数学的基本知识。数学教材中的例子应该直接明了地证明相应的数学公理。所举的例子可以是抽象的情景，也可以是具体的现象。只要教师觉得合适，这样的例子就多多益善。需要强调一点，数学教材中的这部分内容。万万不可简而化之。数学考试中往往也会考察类似的类似问题的解决，这就需要学生通过诸多例题来掌握复杂数学知识的实际应用。数学的主要知识点其实并不高深莫测，只能说是比较抽象。在人文教育中开展数学教育，其中的目的之一就是为了训练学生的抽象思维能力。数学中包含着许多抽象的知识形式，是人们进行精确思维的重要基础。
3. 数字、数量、空间的关系 在我们的教育过程中，数学一般体现为三个方面：数的关系、量的关系、空间的关系。当然，学校教育中的数学并不等同于科学研究中的数学，后者的内容要更为宽泛。我们现在所谈谈论的是学校教育中的数学课程数、量、空间，这三个方面是相互联系的。在教育过程中，我们的教学顺序是从特殊到一般，那么在数学教育中，我们就要让学生通过简单的例题的练习来掌握相应的知识点。也就是说，数学教育不应该是盲目地教给学生一个又一个数学公理，而应该让学生认识到，他们以前所学习的各种知识其实都是与数、量、空间有关系的，这才是数学教育的要义所在。从特殊到一般，这种教育方式是形成所有哲学思想的根本基础。实际上，任何一个人只要恰当地掌握了数学的基础知识，它都能具备哲学思想的基本素养。但是，在数学教育中，我们务必要避免一点极数学知识点的盲目累加，不管做多少例题，不管学多长时间，所学习的例题必须要用于掌握数学课程的核心知识。通过这种方式，也只有通过这种方式，我们才能去除数学的深奥艰涩。这里所谈的数学教育并不特别针对两类学生，一类学生将来会成为专业的数学家，另一类学生在将来的专业中需要运用比较复杂的数学知识，我们指向的是所有学生的人文素养，包括前面所说的两类学生。因此数，数学课程应该围绕一些简单的知识点展开，通过具体的例题进行讲解。数学教育必须目的明确，要和前面所讲的专业数学研究，严格区分开来。
4.通过复习引导进一步发展在基础教育结束的时候，对那些天资比较聪明的学生来说，该如何复习总结呢？首先，学生应该能够对已经学习的数学知识，有一个总体的把握，不一定是面面俱到，无一疏漏，但是要清楚核心的知识，懂得数学的要义，为将来的进一步学习打下扎实的基础。另外，对于分析数学和几何学这两类知识来说，学生可以直接运用于物理实验室，设置一个简单的力学实验，验证所学的相关知识。这样的应用具有双重的意义，一方面学习物理知识，一方面学习数学知识，两者互为印证。数学知识，在力学原理的精确验算是非常关键的。通过数学的应用，学生就会逐渐明白精确的自然规律，那些规律在我们的经验中，在多大程度上得以验证，以及抽象思维在自然规律的验算中所起到的作用。这个过程的目的就是让学生通过详实而具体的例证来掌握知识要点，而不是死记硬背一些条条框框。数学教育的意义不在于作图本身，而在于做图背后的教育理念，就像一支枪背后的那个持枪人一样，教育行为的有效性取决于相应的教育理念，如何定位。在数学教育中，我们可以如此这般地把函数运用于物理定律的演绎之中。除此之外，数学知识还可以运用在其他的实践领域。只要在这个实践领域中存在着精确的客观规律，而这个客观规律无法通过自然观察得出准确结果，但是可以通过简单的数学计算而得出。同时，这样的数学计算过程往往就成了数学知识，客观应用的代表性案例。统计学就是其中的另外一个代表性案例。凡是统计都要牵涉大量的数据，却可以通过数学轻而易举地解决和验证。一般情况下，只要稍微学点儿统计方法，就可以对社会现象进行统计分析，这就是一个最简单的数学知识应用。除此之外，学生还可以通过数学史来学习数学。我们不用把数学史仅仅看作年代人民的简单拼凑，数学史的要义在于阐述过去的数学思想潮流，那些思想潮流什么时候首次出现并得到了人们的关注。我之所以提出数学史这个问题，是因为我觉得我们可以运用数学史进行教学，也许可以帮助我们取得较最为理想的效果。
5 逻辑方法训练的主要手段到目前为止，我们讨论的是两个主要的问题，即量的概念和自然规律。人文教育体系中的数字课，数学课程必须要重视这两个问题。另外，数学还有一个方面不容忽视，即作为逻辑方法训练的必备工具。
那么，什么是逻辑方法？如何训练一个人的逻辑方法呢？如果要想成为一个娴熟的逻辑推理者，或者只是想用逻辑推理的基本知识，启发普罗大众的心智，一般的推理知识或者推理活动是远远不够的。逻辑推理的要义在于准确把握关键问题，抓住核心证明要点，不断提出相关事实。只有经过长时间的练习，学会牢牢抓住中心思想，一个人才有可能领会逻辑推理的艺术。就此而言，我认为几何比代数更适合用于训练人们的推理能力。相对来说，代数公式运算难以一目了然，而几何空间图形则是直接醒目的。在几何的运算过程中，颜色、味道、重量诸如此类不相干的物质属性统统被忽略掉，这样的简化过程或者抽象过程本身就十分具有教育意义。另外，几何中的定义或者未经证明的命题都需要相应的几何问题事实清楚，关系明晰。所下定义或者所做命题，只是证明几何问题的开端而已。随着几何问题的不断证明，其中的逻辑推理就愈发明显。在几何的学习过程，中学生也不会像学习代数一样，面对问题的符号抽抽象，不管是什么样的抽象符号，都会干扰规律的记忆。在几何学习中，只要引导得当，在每一个阶段的每一个要点上，学生的逻辑推理就能逐步展开。
我把几何学习的过程分为五个阶段，第一个阶段的任务是学习全等。在数学教育中，我们需要认真学习全等的概念和表现，更要认真领会全等所蕴含的逻辑推理思想和科学理论价值。
第二个阶段的任务是学习相似，相似概念是全等概念的延伸。
第三个阶段的任务是学习三角形原理三角学，研究相似图形的关系问题和图形旋转中的周期性问题。三角学有如下的意义，一、验证全等和相似中的一些定理。二解决测量中的一些问题，三演绎有关周期和波动的一些函数。围绕这三个方面，通过数学教材的学习和实际应用的锻炼，学生就会在三角学中有所收获。
第四个阶段，开始学习解析几何。在代数函数的学习过程中，我们有时候可以运用图形予以证明，已经涉及了数形结合的基本思想，解析几何中的针对性更为明显，借助于相应的方程式去分析直线、圆、三种圆锥曲线。
第五个阶段是要学习有关投影几何的内容。按投影几何的核心概念是交比和投影。只要任何图形之间存在着共同的性质，就可以推理证明相关图形之间的相互关系，这就是投影几何的理论意义。经过投影变换后，几何图形的投影性质保持不变，这是投影几何中的一个核心思想。交比概念主要是用来对几何图形的投影变换进行计算和度量。我们要针对若干少量命题来展开投影几何的教学，以此让学生学习，其中蕴含的两个有紧密联系的过程。第一个是简化过程，这种简化是心理上的，而不是逻辑上的，因为一般情况下，几何投影中的逻辑关系是最为简单的，而学生需要证明的投影关系往往是他们已熟知的或是明白易懂的。第二个是演绎过程，只要学生能够借助一定手段发现某种投影，或者能够通过一定的标准检验某种投影，就可以遵循从一般到具体的原则进行充分演绎。以上所罗列的五个教学步骤并不复杂，属于一种理想化的几何教学模式。在我们实际的几何教学中，数学教材就每一个阶段所展示的演绎推理甚为寥寥。
对此，我们必须予以充分重视，让学生通过具体的例子认识每一个几何命题的重要意义。演绎推理过程可以通过教师的讲解进行演示，也可以通过学生的运算进行证明，只要能够帮助学生理解相关演绎推理的意义即可。只有这样，学生才会懂得如何分析空间图形的主要性质，也才会懂得基本方法的实际运用。如果以这样的理想来实施数学教育，学生就能从中得到一些基本的数学知识，用于对客观世界作出科学的探究和哲学的思考。在此过程中学生的逻辑方法也能够得以锻炼。在此基础上，开拓教育视野，强化哲学思维。改变数学教育需要一步一步的进行，例如先编写必要的新教材。然后，改革数学考试，强化数学中非技术性的一面。
附：笛卡尔方法论笛卡尔在方法论中指出，研究问题的方法分四个步骤。
一、不接受任何自己不清楚的道理，尽量避免偏见，要根据自己非常清楚和确定的判断，不管是什么权威的结论都是可以怀疑的。
二、如果要研究的问题复杂。就尽量将其分解为多个比较简单的小问题，一个一个的解决。
三，把小问题从简单到复杂进行排列，先从容易解决的问题入手。
四，问题解决之后再综合起来检验。近现代西方科学研究的方法，基本上是按照笛卡尔的方法论进行的。笛卡尔方法论对西方科学的飞速发展起了极大的促进作用。
