Projection矩阵 Reverse-Z推导

2020-11-12 本文已影响0人 crossous

一般DirectX透视矩阵推导

符号表：
$\begin{align} &\alpha\quad\quad垂直FOV角 \\ &\beta\quad\quad水平FOV角 \\ &w、h\quad\quad宽、高 \\ &r\quad\quad宽高比\frac{w}{h} \\ &d\quad\quad当半高为1时，平面与相机的距离 \end{align}$

为什么要半高为1？
因为我们希望最终计算结果在NDC空间中，范围在xy中都是[-1, 1]，其中我们令y的半高为1，根据宽高比，x的半宽为r，后面我们回让x/r来达到xy都处于[-1, 1]范围内。

$\tan{\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{d}\quad\quad\stackrel{}\Rightarrow\quad\quad d = \frac{1}{\tan{\frac{\alpha}{2}}}$
$\frac{w_1}{1}=\frac{w}{h}=r\quad\quad\stackrel{}\Rightarrow\quad\quad w_1=r$
$tan{\frac{\beta}{2}}=\frac{w_1}{d}=\frac{r}{d}=r\tan{\frac{ \alpha }{2}}$
给一点 $p=(x,y,z)$ ，求它的透视在半高为1平面上的点 $p'=(x', y', d)$ ，可以得到以下关系：
$\frac{y}{z}=\frac{y'}{d} \quad\quad\stackrel{}\Rightarrow\quad\quad y'=\frac{y}{z\tan{\frac{\alpha}{2}}}$
同理 $x'=\frac{x}{z\tan{\frac{\alpha}{2}}}$ 。
此平面上，y取值范围为[-1, 1]，x取值范围为[-r, r]，为保证1:1，将x除以r。
当前矩阵为： $\left[ \begin{matrix} \frac{1}{r\tan{\frac{\alpha}{2}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan{\frac{\alpha}{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & 1 \\ 0 & 0 & B & 0 \\ \end{matrix}\right]$
当view空间乘此矩阵时得到：
当前矩阵为： $\left[x, y, z, 1\right] \left[ \begin{matrix} \frac{1}{r\tan{\frac{\alpha}{2}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan{\frac{\alpha}{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & (1) \\ 0 & 0 & B & 0 \\ \end{matrix}\right] =[\frac{x}{r\tan{\frac{\alpha}{2}}}, \frac{y}{\tan{\frac{\alpha}{2}}}, Az+B, z]$
$\quad\quad\stackrel{divide\quad w}\Rightarrow\quad\quad [\frac{x}{rz\tan{\frac{\alpha}{2}}}, \frac{y}{z\tan{\frac{\alpha}{2}}}, A+\frac{B}{z}, 1]$
由此得到view->ndc z的转换函数： $g(z)=A+\frac{B}{z}$
希望转换到NDC时，近平面是0，远平面1，所以： $g(f)=A+\frac{B}{f}=1\quad and\quad g(n)=A+\frac{B}{n}= 0$
$B=\frac{nf}{n-f}\quad A=\frac{-f}{n-f}$
最终得到矩阵： $\left[ \begin{matrix} \frac{1}{r\tan{\frac{\alpha}{2}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan{\frac{\alpha}{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-f}{n-f} & 1 \\ 0 & 0 & \frac{nf}{n-f} & 0 \\ \end{matrix}\right]$

Reverse-Z

差异主要体现在A和B计算时的差异，我们希望NDC近平面是1，远平面为0，因此重写公式： $g(f)=A+\frac{B}{f}=0\quad and\quad g(n)=A+\frac{B}{n}= 1$
$B=\frac{-nf}{n-f}\quad A=\frac{n}{n-f}$
最终得到Reverse-Z矩阵： $\left[ \begin{matrix} \frac{1}{r\tan{\frac{\alpha}{2}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan{\frac{\alpha}{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{n}{n-f} & 1 \\ 0 & 0 & \frac{-nf}{n-f} & 0 \\ \end{matrix}\right]$

Unity中的DirectX矩阵

Unity的PC平台API是DX，针对平台差异，和我们推导出的矩阵有一定差异。

渲染到RT时传递的矩阵，要对y取反
要将view矩阵取反的z重新取反，所以Unity渲染时传入的DX矩阵是这个公式：
$\left[ \begin{matrix} \frac{1}{r\tan{\frac{\alpha}{2}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{\tan{\frac{\alpha}{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-n}{n-f} & -1 \\ 0 & 0 & \frac{-nf}{n-f} & 0 \\ \end{matrix}\right]$
我们可以得到剪裁空间关于z和w的函数：
$C(z)=\frac{-n(z+f)}{n-f}\quad and \quad C(w)=-z$
并且经过齐次除法后 $NDC(z)=\frac{C(z)}{C(w)}=\frac{-n(z+f)}{(n-f)(-z)}$
验证下，假如我们场景中，有个点在 $[0, 0, near]$ 位置的点，因为Unity View矩阵取反特性，变为 $[0, 0, -near]$ (view空间下)，带入此点： $C(-n)=n$ ，同理 $C(-f)=0$ ， $NDC(-n)=1$ ， $NDC(-f)=0$ 。
URP下有个函数：

//当Reverse-z(API为DX时)
// { (f-n)/n, 1, (f-n)/(n*f), 1/f }
float4 _ZBufferParams;
float LinearEyeDepth(float depth, float4 zBufferParam)
{
    return 1.0 / (zBufferParam.z * depth + zBufferParam.w);
}

使用方法是在片元着色器传入SV_Position或深度图采样出来的值，注意片元着色器中的SV_Position是已经经历过透视除法，乃至视口变换的，z值相当于上边的NDC公式。
我们根据公式写一遍： $LinearEyeDepth(NDC(z))=\frac{1}{\frac{-n(z+f)}{(n-f)(-z)}*\frac{f-n}{nf}+\frac{1}{f} }=-z$
这个z是view空间的，因为view矩阵本身对z取反，这个-z操作正好让我们察觉不到view矩阵的取反操作。
同样还有Linear01Depth方法：

float Linear01Depth(float depth, float4 zBufferParam)
{
    return 1.0 / (zBufferParam.x * depth + zBufferParam.y);
}

推导公式： $Linear01Depth(NDC(z))=\frac{1}{\frac{-n(z+f)}{(n-f)(-z)}*\frac{f-n}{n}+1}=-\frac{z}{f}$

Unity移动平台、OpenGL透视矩阵推导

与PC端DirectX相比，差异主要体现在三方面：

二行二列无需对y轴取反
w项乘项为-1
ndc范围为[-1, 1]，n映射到-1，f映射到1
注意Opengl中，相机空间是看向z轴负半轴方向，所以严格说是-n映射到-1，-f映射到1
同样写下基础矩阵： $\left[ \begin{matrix} \frac{1}{r\tan{\frac{\alpha}{2}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan{\frac{\alpha}{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & (-1) \\ 0 & 0 & B & 0 \\ \end{matrix}\right]$
$NDC(z)=-A- \frac{B}{z}$
$NDC(-n)=-A- \frac{B}{-n}=-1$ and $NDC(-f)=-A- \frac{B}{-f}=1$
$B=\frac{2nf}{n-f}\quad A=\frac{n+f}{n-f}$
得到的最终矩阵为： $\left[ \begin{matrix} \frac{1}{r\tan{\frac{\alpha}{2}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\tan{\frac{\alpha}{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{n+f}{n-f} & (-1) \\ 0 & 0 & \frac{2nf}{n-f} & 0 \\ \end{matrix}\right]$
$NDC(z)=\frac{(n+f)z+2nf}{(f-n)z}$
不过因为深度要存储在0-1范围内，因此在片元着色器中得到的SV_Position值，实际上被重映射过：
$FragSVPos(z)=NDC(Z)*0.5+0.5$

//当API为OPENGL时
// { (n-f)/n, f/n, (n-f)/(n*f), 1/n }
float4 _ZBufferParams;

$LinearEyeDepth(NDC(Z)*0.5+0.5)=\frac{1}{\left(\frac{(n+f)z+2nf}{-(n-f)z}·\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)·\frac{n-f}{nf}+\frac{1}{ n }}= -z$
$Linear01Depth(NDC(Z)*0.5+0.5)=\frac{1}{\left(\frac{(n+f)z+2nf}{-(n-f)z}·\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)·\frac{n-f}{n}+\frac{f}{ n }}= -\frac{z}{f}$

Unity中投影矩阵的获取

调用Camera的API即可获取矩阵：

Camera camera = Camera.main;
Matrix4x4 oglProj = camera.projectionMatrix

这个矩阵其实是“死”的，是上面我们推导出来的OpenGL（移动平台）矩阵，Unity有一个API能根据当前平台，获取当前API的矩阵：

Matrix4x4 proj = GL.GetGPUProjectionMatrix(camera.projectionMatrix, true);

第一个参数是从Camera获取的矩阵，第二个参数是：是否渲染到RT。这个RT包括普通颜色缓冲，传入Shader的unity_MatrixVP就是这么算的：

Matrix4x4 unity_MatrixVP = proj * camera.worldToCameraMatrix;

用python构造Unity中的两个矩阵

测试用：

import glm
import numpy as np

near = n = 0.3
far = f = 1000

fov = glm.radians(60)
aspect = 2

dxproj_reverse_z = np.matrix([[1 / (aspect * np.tan(fov/2)), 0, 0, 0], 
    [0, -1 / np.tan(fov/2), 0, 0],
    [0, 0, n / (f - n), -1],
    [0, 0, n * f / (f - n), 0]])
print(glm.transpose(dxproj_reverse_z))

#print(glm.transpose(glm.perspective(fov, aspect, near, far)))
oglproj = np.matrix([
    [1 / (aspect * np.tan(fov/2)), 0, 0, 0],
    [0, 1 / np.tan(fov/2), 0, 0],
    [0, 0, -(f + n) / (f - n), -1],
    [0, 0, -2*n*f/(f-n), 0],])

print(glm.transpose(oglproj))