倍数家族与因数检查报告 ——数学板块·第十一周周报
周四主课，吴巍老师来听课，回课的时候，我们讨论了关于课堂上应该关注整体还是个体的问题。这节数学主课，以小组讨论和上台汇报为主线，我们共同探究2、4、8的倍数规律。由于讨论得比较热烈，一些孩子迫不及待地发言，中间还出现了局面的戏剧性反转，到后半段时，其实有些难了，一部分孩子还很兴奋地在说，一部分孩子有些跟不上，听不明白，而倾听和表达，也是我们想要着力去培养的能力与学习习惯。
当天晚上，我又和马翔复盘了主课上的得失感受。他鼓励我把这堂课记录下来，做一次教研分享。先试着回顾一下。
一开始是2、3、4的节奏律动，我们通过跺脚、拍手唱数，先分组建立各自稳定的节奏，再尝试保持自己的节奏，在教室里走动，像鸟儿一样，“嘤其鸣矣，求其友声”，找到共同倍数家族的伙伴聚到一起拍手；最后是找一位不同家族的伙伴，两人一组，比如各自拍2和3的倍数，看什么时候能够相遇到一起。
通过节奏律动，全班孩子都参与进来了，当彼此的节奏响应到一起时，整个教室里激荡起合一的感受是很幸福的。这也是音乐在集体中的感召力。中间走动起来那段，我们各自的节奏有快有慢，还不太稳定，所以一度有些混乱，数不到一起。不过临时的混乱比起始终在集体中“滥竽充数”要好，能够调动起孩子主动去倾听、去调整的意识，最后合到一起太美了！
律动之后坐下来，身体还在活跃和兴奋的状态，正适合做点安静练习。我让孩子们拿出练习本，先做一个96的因数检查报告：判断它是不是1、2、3……的倍数，它的因数有哪些？孩子们对于因数检查的程序比较熟悉了，接下来就看对倍数特征的判断，以及除法运算的熟练程度。他们算下来就惊叹：96真富有啊！有那么多的因数：1，2，3，4，6，8，12……
进入到今天的主题：2、4、8的倍数家族规律。我们已经讨论并总结过3、6、9的倍数家族，2的倍数也是大家熟知的双数，所以这节课的难点在于4和8的倍数。在一开始的节奏律动中，2和3 的倍数数数都很强大自信，4的倍数确实容易淹没其中。
我请每个小组三个人，自选难度（2，4，8），分别在纸上写这个倍数家族，看看一分钟能写到几（实际我们投入工作了有三五分钟）。这是一个限时高度专注的练习。孩子们一阵紧张骚动，有商量谁写啥的，有拿出铅笔急着要削尖一点的……真正开始计时时，全场非常安静，每个人都在努力写。有趣的是，睿睿和兔兔自发一起搭伴写8的倍数，有股一起去开疆拓土的豪迈。
写的过程中，我让孩子们保持觉察，看看这个家族有什么特点，有没有写串了，跑到别人家去了？不时会有孩子发出“错了”的惊叹声，错一个就会一连串错下去啊！所以一些孩子会很小心地检查，当走到一些关键节点时，比如100、160等等，也会格外留意一下。
计时结束，我在黑板上记录了几个组的结果，2 的倍数有写到222的，8的倍数有写到278的，等等。先放在这里。
接着让孩子们小组内分享各自写的，讨论一下2、4、8的倍数有什么特点。
这一步的任务有点跳跃了，缺乏清晰的脚手架。尽管之前我们有过几次还比较成功的小组讨论，比如讨论“6的倍数特点”，但那是比较聚焦的，而且经过了充分的铺垫。这次讨论2、4、8，一下子对比三个倍数家族，难度可想而知。
这个数学板块要收尾了，我心里的期待是希望能让孩子们清晰完整地总结出一整套倍数家族的规律，画上一个完美的句号。简单说，太想要那个结果了，这时“教学目标”和“教育目标”就会发生冲突。育人的目标深藏在整个探索发现的过程中，比如小组合作、倾听与表达，如何建立一个安全、润泽的场，每个孩子都有时间和空间去生发自己的思考。
这节课的气氛一度很热烈，难得的是平时懒洋洋的宽宽、常常游离在外的荣轩，都全程参与，贡献了很多宝贵的想法。在这样的脑力激荡中，我也有些兴奋，加入到层层深入、抽丝剥茧的发现过程中。经过之前几次练习，每个小组上来分享都比较快，除开尾数规律，更多关注在百格板上数字排列位置的特点上——这个阶段大部分孩子，还不能脱离具象和形象的思考，也需要适时地摆脱教具，去发展进一步的创像和延伸思考的能力。
比如好几个孩子在写倍数家族时，能够很有意识地对齐了一组一组写，他们发现尾数重复的规律，写到100以上，后面两位又开始重复走乘法表。当腾腾在小组讨论时说出“100是4的倍数”时，他并没有意识到这个结果的价值。当我问大家100、200、300……是不是都是4的倍数，孩子们答是。这里我忍不住点破了——如果“整百数都是4的倍数”，那要判断一个数是不是4的倍数，是不是看最后两位就可以了？习惯做数的拆分的孩子，很容易就接受了这个想法，为了确保所有孩子都有信心下判断，我们先找了几个简单的例子验证之后，我在黑板上随手写下一个巨长的数：“123456784”，先让孩子们读数（复习一下大数的认识），再让孩子们判断这个数是不是4的倍数家族的。
当时慧葆就很兴奋地提笔就算，我看好几个孩子都开始列竖式，就鼓励大家都来算一算（顺便复习一下竖式除法），我过了一阵，也在黑板上写下竖式。这道题很巧，3的上面要补0，孩子们算出结果和我一核对，答案是30864196，出错往往是漏了补这个0。
因为竖式是从高位一步步推算下来，很容易看到，如果整百数都能被4整除，只需要看最后两位“84”能不能除尽就好。
当数扩大到千以上时，孩子们的想象空间也需要被撑开，因为日常经验和数感已经不够用了，如果我这堂课的尝试就到此为止，也还OK。可我的探索热情已经被点燃，太想把这道题做完整了：8的倍数怎么判断呢？
这时荣轩很认真地思考后，接了一句“84不是8的倍数，所以这个数不是8的倍数。”
真是这样吗？我问大家是否同意荣轩的说法，基本上所有孩子都表示了认可。因为123456784÷4的竖式结果还写在黑板上，我想看看有没有人会通过答案30864196是个双数，来判断它还可以被2整除。
不过很显然，一个数除以8，相当于除以4之后再除以2，这并不是孩子们已经掌握的背景知识。我尝试用一个情境来引导：这么多颗糖果分给8个人，可以让8个人两两一组，先分给四组，每组拿到多少颗呢？那这一组两个人能不能正好分呢？孩子们恍然称是。
如果到这里告一段落，把如何判断8的倍数，作为开放性的问题先留着，应该是一个不错的选择。可我一时没忍住，又和孩子们继续讨论了一阵，宽宽说因为100不是8的倍数，但200、400、600……都是，我就追问1000是不是8的倍数？这是很重要的数学事实，但已经超出4年级孩子的数学经验了。等我们最后总结到“8的倍数要看最后三位”时，显然已经有孩子跟不上了。
因为这一周孩子们在数学探究、小组讨论和表达上有了明显的突破，我很享受一起探索发现的过程，也忍不住想要趁胜追击，给这个数学板块一个完美收官。现在想想，将军动员士兵、激起战斗热情的同时，自己尤其要保持冷静啊！
人教版的数学教材中，“倍数和因数”是五年级下学期的内容，我们的孩子因为有前几年倍数节奏唱数的经验，对倍数家族比较熟悉。我在这个板块引入，一方面是对整数基本性质的理解，复习巩固乘除法运算，另一方面也想为下一个分数板块做一些铺垫，毕竟等值分数的学习，扩分和约分，都要基于对倍数的运算。
但四年级对倍数和因数的学习，其实还在浪漫阶段，孩子们要熟练掌握乘法表，在倍数唱数中体会节奏，熟悉100以内的倍数家族，进一步巩固乘法表和多位数的乘除法。经过反复思量，我把“质数与合数”、“公因数和公倍数”这些知识点都再往后推一推。在浪漫阶段，孩子们通过熟练唱数充分熟悉倍数家族，能够有条理有步骤地找到一个两位数的所有因数，这个板块的教学目标就算达成了。
有意思的是，从倍数家族到一个数的所有因数，其实也是从整体到个体，再把个体放到整体里去看的不同角度。当我们通过唱数去感受各个倍数家族时，孩子们感受到了集体中的响应，当我们具体分析每个数的特性，做出因数检查报告时，孩子们需要非常细心专注，去推敲每个数字的特征……作为老师在课堂上，也需要同时关照到这两个方面，随时把镜头拉远再放大，非常需要觉察力啊。
【彩蛋来了】
立冬那天，北京迎来了第一场雪。第二天下午，我们在校园里散步，孩子们写下自己的自然观察，这是在孩子们学习写观察日记之后的一次小练笔，着实让我惊喜：
“在我眼里秋天尾巴是一幅色彩斑斓的画……“
“本来美丽的秋冬交界之季，一场大雪突如其来。”
“冷酷的冬军占领秋军的沃土。”
“秋天最后一点尾巴尖，被一场大风雪吹走了。”
四年级也还处于写作的“浪漫”阶段，每个孩子的语言都是那么真实自然，写的都是自己的心声。我在教室里大声朗读这些文字的时候，真是太幸福了。我让孩子们把自己的文字配画，贴在展板上，也想和每一个经过的人分享这样的幸福和美好。
（更多美好的作品，来问渠班欣赏吧！）
