立体几何复盘：空间的平行关系

2022-04-08 本文已影响0人易水樵

2013年文数全国卷B题18 2013年理数全国卷B题18

说明：文数与理数的问题1相同，都是求证线面平行.

如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $D,E$ 分别是 $AB,BB_1$ 的中点.
（I）证明∶ $BC_1$ //平面 $A_1CD$ ;

2013年理数全国卷B

【破解要点】

连接 $AC_1$ ，记对角线 $AC_1, A_1C$ 的交点为 $Q$ ；

连接 $DQ$ ;

因为 $Q$ 是 $AC_1$ 中点， $D$ 是 $AB$ 中点，所以 $DQ$ 是 $\triangle ABC_1$ 的中位线，平行于 $BC_1$ .

此题得破.

详情请见：2013年文数全国卷B题18

2014年文数全国卷B题18 2014年理数全国卷B题18

说明：文数与理数的第1问相同，都是求证线面平行.

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形， $PA\perp$ 平面 $ABCD$ ， $E$ 为 $PD$ 的中点.
（Ⅰ）证明∶ $PB$ // 平面 $AEC$ ;

2014年理数全国卷B18

【破解攻略】

连接 $AC,BC$ ，记其交点为 $Q$ ；

由矩形的性质可知： $Q$ 点是 $BD$ 的中点；

所以， $QE$ 是 $\triangle PBD$ 的中位线；此题得破.

完整的证明过程：2014年文数全国卷B题18

基于课本题：2018年文数全国卷C题19

如图，矩形 $ABCD$ 所在平面与半圆弧 $CD$ 所在平面垂直， $M$ 是 $CD$ 上异于 $C,D$ 的点.
（2）在线段 $AM$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $MC$ //平面 $PBD$ ? 说明理由.

2018年文数全国卷C

【破解攻略】

取 $AM$ 中点为 $P$ ；

连接 $BD$ ，记 $AC,BD$ 的交点为 $Q$ ;

连接 $PQ$ ，则 $PQ//MC$ , $MC$ //平面 $PBD$ .

此题得破.

参考答案：2018年文数全国卷C题19

四面体与四棱锥：2009年理数海南卷题19（12 分）

如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍， $P$ 为侧棱 $SD$ 上的点.
（I）求证∶ $AC \perp SD$ ;
（Ⅱ）若 $SD \perp$ 平面 $PAC$ ，求二面角 $P-AC-D$ 的大小;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 $SC$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $BE$ // 平面 $PAC$ . 若存在，求 $SE:EC$ 的值；若不存在，试说明理由.

2009年理数海南卷

提示：

（1）分析以下三角形的形状特征： $\triangle SAC, \triangle SBD, \triangle ABC, \triangle ADC$

（2）可以参考以下考题：2007年文数海南卷、2017年全国卷C（文数+理数）

【破解攻略】

这是一个有意思的考题，对于提升空间想象力大有好处. 这里我们只讨论问题Ⅲ，平行问题.

首先，我们要对面前的几何模型有个较为深入的了解.

底面 $ABCD$ 是正方形；

侧面 $\triangle SAB, \triangle SBC, \triangle SCD, \triangle SAD$ 是四个全等的等腰三角形；

$\triangle SBD, \triangle SAC$ 是正三角形；

记 $ABCD$ 的对角线交点为 $Q$ ，则直线 $SO$ 是整个四棱锥的对称轴；

现在，想象一下：如果有一个经过点 $B$ 的平面与平面 $PAC$ 平行（为方便起见，我们可以将此平面记作平面 $\beta$ ），那它与另外几个平面（四边形）是什么关系呢？

结论是：平面 $\beta$ 与前面提到的 6个三角形平面相交；

其中，尤其要注意的是这两个： $SAC, SBC$ ; 平面 $\beta$ 与它们的交线平行于平面 $PAC$ ；

再注意到平面平面 $PAC$ 与 $SD$ 垂直，则 $\beta$ 与平面 $SBD$ 相交所得的直线与垂直于 $SD$ .

此题得破.

详情请看：2009年理数海南卷题19

四棱锥：2017年理数全国卷B题19（12分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，侧面 $PAD$ 为等边三角形且垂直于底面 $ABCD$ ， $AB=BC=\dfrac{1}{2}AD，\angle BAD=\angle ABC=90°$ ， $E$ 是 $PD$ 的中点.
（1）证明∶直线 $CE$ //平面 $PAB$ ;

2017年理数全国卷B

【破解攻略】

首先，我们对已知条件作一个盘点，发现：

$\triangle PAD$ 是正三角形；

$ABCD$ 是一个直角梯形；如果记 $AD$ 的中点为 $Q$ , 则 $ABCQ$ 是一个正方形；

直线 $CE$ //平面 $PAB$ ，在本题中是有待证明的结论；假如我们将其作为条件，可以推出什么结论呢？结论是：平面 $EQC//$ 平面 $PAB$ .

那么，根据现有条件是否可以证明这两个平面相等呢？回答是肯定的： $\text{[math]}$ 是 $\triangle PAD$ 的中位线；

$EQ // PA, QC // AB \Rightarrow$ 平面 $EQC//$ 平面 $PAB$ .

此题告破.

详情请看：2017年理数全国卷B题19

四棱锥：2017年文数全国卷B题18（12分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，侧面 $PAD$ 为等边三角形且垂直于底面 $ABCD$ ， $AB=BC=\dfrac{1}{2}AD，\angle BAD=\angle ABC=90°.$
（1）证明∶直线 $BC$ // 平面 $PAD$ ;

2017年文数全国卷B

【破解攻略】

这个文科题使用的几何模型与理科题相同，但难度较低；

由平面几何可推出： $BC//AD$ ,

由线线平行可推出线面平行.

参考答案：2017年文数全国卷B题18

2016年文数全国卷C题19 2016年理数全国卷C题19

说明：文数与理数的问题1相同，都是求证线面平行.

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA\perp$ 底面 $ABCD，AD//BC$ , $AB=AD=AC=3$ , $PA=BC=4$ ， $M$ 为线段 $AD$ 上一点， $AM =2MD$ ， $N$ 为 $PC$ 的中点.
（I）证明 $MN$ //平面 $PAB$ ;

2016年理数全国卷C

【破解攻略】

盘点已知条件可以看出： $ABCD$ 是一个梯形； $\triangle ABC$ 是等腰三角形；

路径一：由面面平行推出线面平行

作 $BC$ 中点 $E$ ，连接 $NE, QE$ ；

$ABEM$ 是平行四边形；

$NE$ 是 $\triangle PBC$ 的中位线；

所以，平面 $NME//$ 平面 $PAB$ .

由面面平行推出线面平行： $MN$ //平面 $PAB$ ;

路径二：由线线平行推出线面平行

作 $PB$ 中点 $Q$ , 连接 $QA,QN$ .

$QN$ 是 $\triangle PBC$ 的中位线

由平行线的传递性推出： $QN // AM$ 且 $QN=AM$ ，

所以， $QNMA$ 是平行四边形

$MN//AQ$

最后由线线平行推出线面平行： $MN$ //平面 $PAB$ ;

详情请看：2016年理数全国卷C题19

2019年理数全国卷A题18 2019年文数全国卷A题19

说明：文数与理数的问题1相同，都是求证线面平行.

如图，直四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面是菱形， $AA_1=4, AB=2，\angle BAD=60°$ ， $E，M，N$ 分别是 $BC,BB_1,A_1D$ 的中点.
（1）证明∶ $MN//$ 平面 $C_1DE$ ;

2019年理数全国卷A

【破解攻略】

盘点已知条件可以看出： $ABCD, A_1B_1C_1D_1$ 是由两个正三角形拼成的菱形.

点 $N$ 是矩形 $ADD_1A_1$ 的对称中心.

过点 $N$ 作直线 $PQ//B_1B$ ，并与 $A_1D_1,AD$ 交于点 $P,Q$ .

$PQBB_1$ 是一个矩形，而 $M,N$ 是中点，所以， $MN//BQ$

而 $QB//DE$ , 由平行线的传递性推出： $MN//DE$ .

此题得破.

详情请看：2019年理数全国卷A题18

四棱锥：2016年理科数学北京卷题17

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$ ， $PA \perp PD, PA=PD$ , $AB \perp AD$ , $AB=1,AD=2,AC=CD=\sqrt{5}$ .
（Ⅰ）求证∶ $PD \perp$ 平面 $PAB$ ;
（Ⅱ）求直线 $PB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值;
（Ⅲ）在棱 $PA$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $BM$ // 平面 $PCD$ ？若存在，求 $\dfrac{AM}{AP}$ 的值；若不存在，说明理由.

2016年理数北京卷题17

【破解攻略】

这是一个有特色的问题，我们可以用体积公式来破解.

$BM$ // 平面 $PCD$

等价于： $B,M$ 两点到平面 $PCD$ 的距离相等；

等价于： $V_{B-PCD}=V_{M-PCD}$

$S_{\triangle MPD}:S_{\triangle APD}=MP:AP$

$V_{M-PCD}:V_{A-PCD}=MP:AP$

参考答案：2016年理数北京卷题17

三棱柱：2020年全国卷B题20

如图，已知三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面是正三角形，侧面 $BB_1C_1C$ 是矩形， $M,N$ 分别为 $BC，B_1C_1$ 的中点， $P$ 为 $AM$ 上一点，过 $B_1C_1$ 和 $P$ 的平面交 $AB$ 于 $E$ ，交 $AC$ 于 $F$ .
（1）证明∶ $AA_1 // MN$ , 且平面 $A_1AMN \perp$ 平面 $EB_1C_1F$ ;
（2）设 $O$ 为 $\triangle A_1B_1C_1$ 的中心. 若 $AO$ // 平面 $EB_1C_1F$ ,且 $AO=AB$ ，求直线 $B_1E$ 与平面 $A_1AMN$ 所成角的正弦值.