一题感悟（胡骋）

2022-04-10 本文已影响0人吴理数

披萨，Pisa，一种喜欢吃，而另一种讨厌思。

Pisa题几乎试每张试卷中都会出现，并且都位于选择题的最后一题，这也意味着它是选择题中的“终极大Boss”，使大部分同学都望而生畏。对于我而言，这类题目是极其恼怒的题型之一。为什么这么说呢？当我因有了大部分思路而兴奋时，总会出现一座“五指山”讲我牢牢地压住，导致无法流畅完成整题，这种气愤与急躁的心情常常会使我半途而废，放弃思索（这是错误行为，勿学）。

接下来，谈谈这题。第一眼望去，发现十分眼熟，似乎做过，这顿时令我信心十足，心想：这不轻轻松松就写出来了。根据从前做Pisa题的经验，无非两种方法。1、“拆东墙补西墙”，拆分拼补；2、设未知数。这题选项都为数字，所以用方法1肯定不太恰当。那么当我采用设未知数的方法。我自己的经验告诉我：“不用怕多设，能设几条线段就设几条，许多线段都可以相互替换”。于是我设AB=CD=x，AD=BC=y，AE=a，CE=c，DE=b。从而可得 $x^2 +y^2=(a+c)^2$ ， $a^2 +b^2=y^2$ ， $b^2+c^2 =x^2$ ， $xy=(a+c)b$ （等积法）。看一看题目，求 $\frac{AB}{BC}$ 的值，那不就意味着求tan∠ $BAC$ 的倒数吗？再根据题意，易得AED∽CBA，那么∠BAC=∠DCE=∠ADE，并且还有了许多比例关系， $\frac{y}{x} =\frac{a}{b} =\frac{b}{c}$ ， $b^2=ac$ 。图一能用的数量关系恐怕就只有这些了。再去看图二，两个阴影部分肯定别有洞天，看了几十秒后，发现下方阴影部分是个等腰，那大概率要作三线合一的辅助线。辅助线作完之后，我迷失了方向，即使我知道了MK=KJ= $\frac{1}{2}$ MJ= $\frac{1}{2}$ DE= $\frac{1}{2}$ b，HK=y- $\frac{1}{2}$ b，但这又有什么用呢？难道是各相似三角形的相似比吗？我尝试将它们串联起来，但似乎没有出现玄机。这座大山还是出现了，但这次我并没有放弃。我将图形转动数圈，发现四边形GMHK是个矩形，接下来就很简单了。 $GW=HK=y-\frac{b}{2} =a=\sqrt{y^2-b^2 }$ ， $y-\frac{b}{2} =\sqrt{y^2-x^2 }$ ，可以解得 $y=\frac{5}{4} b$ 。再因 $y^2=a^2+b^2$ ， $（\frac{5b}{4} ）^2 =a^2 +b^2$ ， $a=\frac{3}{4}b$ ，所以， $\frac{AB}{BC} =\frac{x}{y} =\frac{b}{a} =\frac{4}{3}$ 。