折射率和介电系数、磁导率关系

2019-10-17 本文已影响0人 sunfove

在没有自由电荷和传导电流的情况下，麦克斯韦方程组表达式如下：

$\nabla \bullet \mathbf{D} = 0$

$\nabla \bullet \mathbf{B} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{H} = - \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$

其中，

$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\mathbf{E}$

$\mathbf{B} = \mu\mathbf{H} = \mu_{0}\mu_{r}\mathbf{H}$

对 $\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$ 两遍取旋度，可得：

$\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = - \nabla \times \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = - \frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \times \mathbf{B} \right) = - \text{εμ}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}$

利用矢量分析公式和 $\nabla \bullet \mathbf{E}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\varepsilon}\nabla \bullet \mathbf{D} = 0$ ，可得：

$\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right)\mathbf{=}\nabla\left( \nabla \bullet \mathbf{E} \right)\mathbf{-}\nabla^{2}\mathbf{E} = \nabla^{2}\mathbf{E}$

由此可得：

$\nabla^{2}\mathbf{E}\mathbf{-}\text{εμ}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}} = 0$

或

$\nabla^{2}\mathbf{E}\mathbf{-}v^{2}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}} = 0$

其中， $v = \frac{1}{\sqrt{\text{εμ}}}\$ 表示电磁波传播速度，电磁波真空中的传播速度为 $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}} = 2.997924 \times 10^{8}\ m/s$

折射率表达式为：

$n = \frac{c}{v} = \sqrt{{\varepsilon_{r}\mu}_{r}}$

折射率和介电系数、磁导率关系

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