【行列式】5、行列式的计算

2021-01-15  本文已影响0人  看远方的星

一、复习

性质2：互换两行，行列式变号。
推论1：若行列式中有两行元素完全相同，则行列式为零。

性质3：用数K乘行列式某一行中所有元素，等于用K乘此行列式。
推论：某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

性质4：行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍，行列式的值不变。

二、思路

把行列式化成对角或三角行列式。

三、例题

1、D=\left| \begin{array}{cccc} 3 & 2 & 2&2 \\ 2 & 3 & 2&2\\ 2 & 2 & 3&2\\ 2&2&2&3 \end{array} \right| =\left| \begin{array}{cccc} 9 & 9 & 9&9 \\ 2 & 3 & 2&2\\ 2 & 2 & 3&2\\ 2&2&2&3 \end{array} \right|=9\left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1&1\\ 2 & 3 & 2&2\\ 2 & 2 & 3&2\\ 2&2&2&3 \end{array} \right|=9\left| \begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array} \right| =9
分析：各行元素之和为一定数，故将第2、3、4行全加到第一行，然后把公因子提出来。然后第一行乘以-2加到其他行，消掉2，转化为上三角行列式。

牢记：
\left| \begin{array}{cccc} a & b & \cdots&b \\ b& a& \cdots&b\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ b & b& \cdots&a \end{array} \right|=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}

2、
D=\left| \begin{array}{cccc} 3&1&-1& 2 \\ -5&1&3&-4 \\ 2& 0&1&-1 \\ 1&-5&3&-3 \\ \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cccc} 3&1&-1& 2 \\ -8&0&4&-6 \\ 2& 0&1&-1 \\ 16&0&-2&7 \\ \end{array} \right|= -\left| \begin{array}{cccc} -8&4&-6 \\ 2&1&-1 \\ 16&-2&7 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc} -16&0&-2 \\ 2&1&-1 \\ 20&0&5 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc} -16&-2\\ 20&5 \\ \end{array} \right| =40
四阶行列式只能按一行或按一列展开变三阶，并尽可能化零。

总结：
1、四阶行列式没有类似于三阶行列式的对角线法则。
2、四阶行列式求法就是化零降阶。

四、练习

答案见下篇
1、设\alpha+\beta+\gamma=0求行列式D=\left| \begin{array}{cccc} \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma& \alpha & \beta\\ \beta & \gamma &\alpha \end{array} \right|的值。
2、求行列式D=\left| \begin{array}{cccc} 1+a_{1} &a_{2}&\cdots&a_{n-1}&a_{n} \\ a_{1}& 1+a_{2} & \cdots&a_{n-1}&a_{n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{1}& a_{2} & \cdots&1+a_{n-1}&a_{n}\\ a_{1}& a_{2} & \cdots&a_{n-1}&1+a_{n} \end{array} \right|的值

3、求行列式 D_{4}=\left| \begin{array}{cccc} 0&1&1& a \\ 1&0&1&b \\ 1& 1&0&c \\ a&b&c&d \\ \end{array} \right|的值

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