2020 无人驾驶随笔

2020-08-27 本文已影响0人 zidea

到这里我们准备兵 3 路，启动并进逐一击破。分别是

计算机视觉和深度学习在无人驾驶的应用
slam 技术在无人驾驶上应用
自动控制

甜点

无人驾驶作为一门新兴的学科，还需要我们不断探索和研究，想象在不久将来都路上会随处可以见无人驾驶车辆。人类从爬行到直立行走、发明轮子出现马车、到今天马路上穿行的汽车，每一次飞跃的周期在不断减少，这一切来源科学技术飞速发展。

我想在开始进入系统设计和 coding 之前，有必要把一些基础知识清楚，只有机器

贝叶斯滤波

我们还是从贝叶斯定理说起，看来看去我们还是先把这个公式搞清楚。
$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
首先这公式一定熟，随手就可以将其写出，并能够很快识别其推广和变种。而且还可以将其解释说明清清楚楚。这是基本功，只有基本功过硬才能走得更远。

首先我们要清楚，A 事件在 B 事件发生前提下发生概率和 B 事件在 A 事件发生前提发生概率一定不相同，相比大家都会认可。但是两者是有一定确定的关系的。这就是贝叶斯定理由来。

那么上面公式描述什么问题呢，我们用于语言来解释一下，就是 A 和 B 都是随机事件，而 P(B) 不为 0 ，我们要求解在 A 事件在 B 事件发生前提下发生概率是多大。

P(A) 是先验概率，也是主观概率
P(A|B) 是我们观测到 B 发生，也可以说看到 B 得到证据推测 A 概率，所以也称为后验概率
$\frac{P(B|A)}{P(B)}$ 是似然概率，也就是后验概率和先验概率之间的比例。

公式证明

$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B) }$
$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A) }$
$P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) \Rightarrow P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

贝叶斯定理推广

$P(A|B,C) = \frac{P(A,B,C)}{P(B,C)} = \frac{P(A,B,C)}{P(C|B)P(B)}$
$P(A|B,C) = \frac{P(C|A,B)P(A,B)}{P(C|B)P(B)} = \frac{P(A)P(B|A)P(C|A,B)}{P(C|B)P(B)}$

贝叶斯滤波与卡尔曼滤波

通过概率统计方法，通过贝叶斯滤波对信号进行处理来减少不确定性。这里说随机变量与概率统计随机变量有所不同，有点类似之前分享的时序分析中的随机变量。其实这里贝叶斯处理随机变量实际上是一个随机过程。

随机过程 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 相互并不独立，这里 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 都是随机变量而且相互之间是有关系。
确定过程: $v=gt$
其实随机过程与我们之前接触到概率论和数理统计不同就是随机变量不是独立的，而且在概率论和数理统计讨论问题前提是相互独立，可能还是同分布，这样一来就大大简化问题。在随机过程取消了独立性，问题就变得要复杂的多。因为取消独立性就无法再做随机试验，也是时序分析中的问题。那么什么是随机实验，随机实验是概率论的基础，最大作用是给概率赋值。投掷硬币，正面朝上的概率是 0.5
第一种是我们根据经验猜的，这也就是主观概率
第二种就是通过大量随机实验，统计实验结果而得到概率，根据大数定律实验
根据两种方法概率分为两个学派，支持主观概率是贝叶斯学派，支持大数定律是频率学派，现在大部分都认同频率学派。

次数足够多时概率就会收敛于频率，看频率趋势在 0.5 上波动，这就是大数定律学说。这一切都是源于随机实验，随机实验就是在相同条件，实验可以重复进行(独立性)，一次实验结果不确定，所有可能的结果已知，实验之前实验结果预先未知。
那么在随机过程中无法进行随机实验，那么在随机过程如何给概率进行赋值呢?

大数定律 P(top) = 0.5 P(bottom) = 0.5 投掷硬币可以重复进行实验，由于大数定律，设 n 为实验次数， $\mu$ 为正面朝上的次数。在 n 次独立的实验中，对于任意正数 $\epsilon$ 有
$\lim_{n - \infty} P(| \frac{\mu}{n} - p_1 | < \epsilon) = 1$
当 n 趋于 $\infty$ 时 $\frac{\mu}{n}$ 依据概率收敛于 $p_1$
对于随机过程 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 相互并不独立。

我们以股市我们就无法通过随机实验来推测概率，因为股市每一天的股价都是随机变量而且在时间序列上这些随机变量并不是两两独立，之前股价对现在股价是有影响的。

所以在随机过程中我们需要找到不同时刻之间关系，也就是 t 时刻和 t+1 时刻随机变量之间关系
$x_t = f(x_{t-1})$
$P(x_t) = f(P(x_{t-1}))$
仅找到他们之间关系还是不够的，我们还如何初始化 $P(x_1)$ 的值也是一个问题，也就是初值选取也很重要，因为我们无法使用随机实验为随机变量进行赋值。当然也有办法，有些随机过程例如随机游走就可以给
$X_t = X_{t-1} + D$
$D \begin{cases} p(forward) = 0.5 \\ p(backward) = 0.5 \end{cases}$
这样我们人为指定一个起点 $P(x_0 = 0) = 1$

有的初值不可以做随机实验，这时候我们只能使用主观概率来设定初值。其实之前主观概率和大数定律都是不严格，其实大数定律也是主观，大数定律也是在独立性假设之上，那么独立性也是我们主观假设的。所以大数定律中也有主观成分。正是因为概率与主观是绕不开的，所通常大学才将概率统计和数学是分开的。

随机过程 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 相互并不独立，已经找到他们之间关系 $x_t = f(x_{t-1})$ 不同的主观概率导致不同的结果，那么随机过程就变为主观方式来解决的问题。

引入外部观测(信息，证据)
例如对于一只股票我们根据经验会主观对这只股票是否赚钱又一个判断，但是一定有了关于这家公司负面消息时，就影响我们开始主观判断，大家一致认为这只股票不会赚钱，这个消息就可以看成是证据。那么也就是主观概率在外部观测数据的作用下变为相对客观的概率。那么这个经过观测修正的主观概率就叫做后验概率。那么主观概率就是先验概率。其实贝叶斯就是在给定先验概率基础上通过外部观测来求后验概率。接下来我们就说一说如果通过贝叶斯公式将先验概率转换为后验概率，说了这些就是为了让大家明白我们为什么需要贝叶斯公式，

$P(D=32|D_{m}=30.5) = \frac{P(D_{m}=30.5|D=32)P(D=32)}{P(D_{m}=30.5)}$

$P(D=31|D_{m}=30.5) = \frac{P(D_{m}=30.5|D=31)P(D=31)}{P(D_{m}=30.5)}$

2020 无人驾驶随笔

甜点

贝叶斯滤波

公式证明

贝叶斯定理推广

贝叶斯滤波与卡尔曼滤波

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