第八天：leetcode 程序员必须知道的8个算法及其时间复杂度
关于作者：大家好，我是Leetcode 2020--2022,连续3年金牌获得者，和亚洲区域赛铜牌获得者，先后在字节和大疆从事技术研发，现在是阿里达摩院的扫地僧，面试专家，CSDN博客专家。对算法一定的见解，是一个刷题10年的算法爱好者 ，利用工作之余刷leetcode。成为leetcode官方答案贡献者之一。
1.插入排序的中心思想：插入（打牌）=========常见
2.希尔排序的中心思想：分组，差值
3.选择排序的中心思想：取最小值============ 常见
4.堆排序的中心思想：二查树
5.冒泡排序的中心思想：找最后一个最大值================ 常见
6.快速排序的中心思想：中间值,二分查找 ==== 常见
7.归并排序的中心思想：分治发
8.基数排序的中心思想
总结：
1.选择排序和冒泡排序的区别
选择排序是找到最小的放在最一的位置，而冒泡是把小的数上浮，大的数据往上沉！
2.选择排序和插入排序的区别
插入排序：循环移动位置，然后插入
选择排序：找最大值，交换
共同点：分成排序和非排序
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英文名称:Swap:交换
<一>直接插入排序（InsertSort ）(打牌)（后移）
（1）基本思想：已排序和未排序进行比较
在要排序的一组数中，假设前面(n-1) [n>=2] 个数已经是排好顺序的，现在要把第n个数插到前面的有序数中，使得这n个数也是排好顺序的。如此反复循环，直到全部排好顺序。
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总结:在有序的数组中，一个一个插入到数组里面，
每次先和第一个数据比较，如果小，插入到前面，要记住Index，i的值
当前值每次都和前面的值比较，然后插入。因为是往前插入，所以所有的有序数据往后移
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java代码：非常简单，2重遍历
int a[]={49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,5,4,62,99,98,54,56,17,18,23,34,15,35,25,53,51};int temp=0;for(int i=1;i
int j=i; //记录下标 temp=a[i]; //存储这个值 while(temp>a[j-1]){//和前面所有的数据做对比
a[j
]=a[j-1]; //将大于temp的值整体后移一个单位 }
a[j
]=temp; //插入的位置和坐标。认真看，j的值在前面是变化的}
for(int i=0;i<a.length;i++)
System.
out.println(a[i]);
<二>希尔排序（Shell sort 最小增量排序）(分组)
我的理解：进行分组，再次分组，然后再用插入排序
（1）基本思想：算法先将要排序的一组数按某个增量d（n/2,n为要排序数的个数）分成若干组，每组中记录的下标相差d.对每组中全部元素进行直接插入排序，
然后再用一个较小的增量（d/2）对它进行分组，在每组中再进行直接插入排序。当增量减到1时，进行直接插入排序后，排序完成。
总结：把第二个数组插入到第一个数组，这样第一个数组和第二个数组合并成了一个数组（分组和Gap），然后让第三个数组往里面插入。最终合并成了一个数组
不稳定的排序说明：
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是否稳定
需要注意一下的是，图中有两个相等数值的元素 5 和 5 。我们可以清楚的看到，在排序过程中，两个元素位置交换了。
所以，希尔排序是不稳定的算法
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java代码步骤：（多种写法）
1.排序到最后增量为1，退出循环
2.3重循环
public ShellSort(){
int a[]={1,54,6,3,78,34,12,45,56,100}; double d1=a.length; int temp=0; while(true){
d1= Math.ceil(d1/2); int d=(int) d1; for(int x=0;x
for(int i=x+d;i
int j=i-d; temp=a[i]; for(;j>=0&&temp
a[j+d]=a[j]; }
a[j+d]=temp; }
}
if(d==1)
break; }
for(int i=0;i
System.out.println(a[i]);}
<三>选择排序（找最小值）
（1）基本思想：一组数据分成已排序和未排序区间，将未排序区间最大或最小的值交换到已排序区间完成排序
选择排序：比如在一个长度为N的无序数组中，在第一趟遍历N个数据，找出其中最小的数值与第一个元素交换，第二趟遍历剩下的N-1个数据，
找出其中最小的数值与第二个元素交换......第N-1趟遍历剩下的2个数据，找出其中最小的数值与第N-1个元素交换，至此选择排序完成。
时间复杂度：n+n-1_………………+1，和插入排序一样，但是事不稳定的。
稳定性：不稳定 （比如序列【5， 5， 3】第一趟就将第一个[5]与[3]交换，导致第一个5挪动到第二个5后面）
总结：找到最小的，把最小的在首位，二次……………………，一个一个排序
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java代码比较简单：
public static void selectSort(){
//从大到小
int data[] = {1, 54, 6, 3, 78, 34, 12, 45};
for (int i =0; i < data.length; i++) {//比较的次数
int maxIndex = i;
for (int j = i +1; j < data.length; j++) {//从i+1开始找
if (data[j] > data[maxIndex]) {
maxIndex = j;//不断更新下标
}
}
if (i != maxIndex) {//当前值和最大值的坐标替换
int temp = data[i];
data[i] = data[maxIndex];
data[maxIndex] = temp;
}
}
}
<四>堆排序（Heap Sort）
我的总结：是选择排序的一样其他形式，构建堆，然后节点的数据要都大于他的子节点（重复不断的进行调整）
（1）基本思想：堆排序是一种树形选择排序，是对直接选择排序的有效改进。(2种条件只需要符合一种)
堆的定义如下：具有n个元素的序列（h1,h2,...,hn),当且仅当满足（hi>=h2i,hi>=2i+1）或（hi<=h2i,hi<=2i+1）(i=1,2,...,n/2)时称之为堆。在这里只讨论满足前者条件的堆。
由堆的定义可以看出，堆顶元素（即第一个元素）必为最大项（大顶堆）。
每个节点都大（小）于它的两个子节点，当每个节点都大于等于它的两个子节点时，就称为大顶堆，也叫堆有序； 当每个节点都小于等于它的两个子节点时，就称为小顶堆。
完全二叉树可以很直观地表示堆的结构。堆顶为根，其它为左子树、右子树。初始时把要排序的数的序列看作是一棵顺序存储的二叉树，调整它们的存储序，使之成为一个堆，这时堆的根节点的数最大。然后将根节点与堆的最后一个节点交换。然后对前面(n-1)个数重新调整使之成为堆。依此类推，直到只有两个节点的堆，并对它们作交换，最后得到有n个节点的有序序列。从算法描述来看，堆排序需要两个过程，一是建立堆，二是堆顶与堆的最后一个元素交换位置。所以堆排序有两个函数组成。一是建堆的渗透函数，二是反复调用渗透函数实现排序的函数。
总结;得到第一个根节点，然后交换位置，调整位置
时间复杂度
堆排序的时间复杂度，主要在初始化堆过程和每次选取最大数后重新建堆的过程；
初始化建堆过程时间：O(n)
推算过程：
首先要理解怎么计算这个堆化过程所消耗的时间，可以直接画图去理解；
假设高度为k，则从倒数第二层右边的节点开始，这一层的节点都要执行子节点比较然后交换（如果顺序是对的就不用交换）；倒数第三层呢，则会选择其子节点进行比较和交换，如果没交换就可以不用再执行下去了。如果交换了，那么又要选择一支子树进行比较和交换；
那么总的时间计算为：s = 2^( i - 1 ) * ( k - i )；其中 i 表示第几层，2^( i - 1) 表示该层上有多少个元素，( k - i) 表示子树上要比较的次数，如果在最差的条件下，就是比较次数后还要交换；因为这个是常数，所以提出来后可以忽略；
S = 2^(k-2) * 1 + 2^(k-3)*2.....+2*(k-2)+2^(0)*(k-1) ===> 因为叶子层不用交换，所以i从 k-1 开始到 1；
这个等式求解，我想高中已经会了：等式左右乘上2，然后和原来的等式相减，就变成了：
S = 2^(k - 1) + 2^(k - 2) + 2^(k - 3) ..... + 2 - (k-1)
除最后一项外，就是一个等比数列了，直接用求和公式：S = { a1[ 1- (q^n) ] } / (1-q)；
S = 2^k -k -1；又因为k为完全二叉树的深度，所以 (2^k) <= n < (2^k -1 )，总之可以认为：k = logn （实际计算得到应该是 log(n+1) < k <= logn ）;
综上所述得到：S = n - longn -1，所以时间复杂度为：O(n)
更改堆元素后重建堆时间：O(nlogn)
推算过程：
1、循环 n -1 次，每次都是从根节点往下循环查找，所以每一次时间是 logn，总时间：logn(n-1) = nlogn - logn ；
综上所述：堆排序的时间复杂度为：O(nlogn)
实例：
初始序列：46,79,56,38,40,84
建堆：（从最下面开始，往上进行交换位置）
然后需要构造初始堆，则从最后一个非叶节点开始调整，调整过程如下：
给定一个整形数组a[]={16,7,3,20,17,8}，对其进行堆排序。
首先根据该数组元素构建一个完全二叉树，得到
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交换，从堆中踢出最大数
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剩余结点再建堆，再交换踢出最大数
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依次类推：最后堆中剩余的最后两个结点交换，踢出一个，排序完成。
成立堆之后进行交换：交换的时候不满足堆条件，就要不断进行调整
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最后的效果图：从上到下，从左到右的排序依次大小
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代码实现：代码逻辑复杂，建立堆和（交换堆顶和最后一个元素）
public static void heapSort(int[] a){
System.out.println("开始排序"); int arrayLength=a.length;
//循环建堆 for(int i=0;i
//建堆 buildMaxHeap(a,arrayLength-1-i); //交换堆顶和最后一个元素 swap(a,0,arrayLength-1-i); System.out.println(Arrays.toString(a)); }
}
private static void swap(int[] data, int i, int j) { int tmp=data[i]; data[i]=data[j]; data[j]=tmp;}
//对data数组从0到lastIndex建大顶堆private static void buildMaxHeap(int[] data, int lastIndex) { //从lastIndex处节点（最后一个节点）的父节点开始 for(int i=(lastIndex-1)/2;i>=0;i--){
//k保存正在判断的节点 int k=i; //如果当前k节点的子节点存在 while(k*2+1<=lastIndex){
//k节点的左子节点的索引 int biggerIndex=2*k+1; //如果biggerIndex小于lastIndex，即biggerIndex+1代表的k节点的右子节点存在 if(biggerIndex
//若果右子节点的值较大 if(data[biggerIndex]
//biggerIndex总是记录较大子节点的索引 biggerIndex++; }
}
//如果k节点的值小于其较大的子节点的值 if(data[k]
//交换他们 swap(data,k,biggerIndex); //将biggerIndex赋予k，开始while循环的下一次循环，重新保证k节点的值大于其左右子节点的值 k=biggerIndex; }else{
break; }
}
}
}
<五 >冒泡排序（Bubble Sort）===========最重要，需要默写代码
（1）基本思想：在要排序的一组数中，对当前还未排好序的范围内的全部数，自上而下对相邻的两个数依次进行比较和调整，让较大的数往下沉，较小的往上冒。即：每当两相邻的数比较后发现它们的排序与排序要求相反时，就将它们互换。
步骤：
冒泡排序算法的运作如下:
比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换他们两个。
对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。在这一点，最后的元素应该会是最大的数。
针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。
至此第一趟结束，将最大的数放到了最后
在第二趟：第二趟结束，在倒数第二的位置上得到一个新的最大数
冒泡排序的过程图：
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举例说明：要排序数组：int[] arr={6,3,8,2,9,1};
第一趟排序：
第一次排序：6和3比较，6大于3，交换位置： 3 6 8 2 9 1
第二次排序：6和8比较，6小于8，不交换位置：3 6 8 2 9 1
第三次排序：8和2比较，8大于2，交换位置： 3 6 2 8 9 1
第四次排序：8和9比较，8小于9，不交换位置：3 6 2 8 9 1
第五次排序：9和1比较：9大于1，交换位置： 3 6 2 8 1 9
第一趟总共进行了5次比较， 排序结果： 3 6 2 8 1 9
---------------------------------------------------------------------
第二趟排序：
第一次排序：3和6比较，3小于6，不交换位置：3 6 2 8 1 9
第二次排序：6和2比较，6大于2，交换位置： 3 2 6 8 1 9
第三次排序：6和8比较，6大于8，不交换位置：3 2 6 8 1 9
第四次排序：8和1比较，8大于1，交换位置： 3 2 6 1 8 9
第二趟总共进行了4次比较， 排序结果： 3 2 6 1 8 9
---------------------------------------------------------------------
第三趟排序：
第一次排序：3和2比较，3大于2，交换位置： 2 3 6 1 8 9
第二次排序：3和6比较，3小于6，不交换位置：2 3 6 1 8 9
第三次排序：6和1比较，6大于1，交换位置： 2 3 1 6 8 9
第二趟总共进行了3次比较，排序结果： 2 3 1 6 8 9
---------------------------------------------------------------------
第四趟排序：
第一次排序：2和3比较，2小于3，不交换位置：2 3 1 6 8 9
第二次排序：3和1比较，3大于1，交换位置： 2 1 3 6 8 9
第二趟总共进行了2次比较，排序结果： 2 1 3 6 8 9
---------------------------------------------------------------------
第五趟排序：
第一次排序：2和1比较，2大于1，交换位置： 1 2 3 6 8 9
第二趟总共进行了1次比较，排序结果： 1 2 3 6 8 9
---------------------------------------------------------------------
最终结果：1 2 3 6 8 9
由此可见：N个数字要排序完成，总共进行N-1趟排序，每i趟的排序次数为(N-i)次，
时间复杂度;
如果很不幸我们的数据是反序的，则需要进行n-1趟排序。每趟排序要进行n-i次比较(1≤i≤n-1)，且每次比较都必须移动记录三次来达到交换记录位置。在这种情况下，比较和移动次数均达到最大值：冒泡排序的最坏时间复杂度为：O(n2) 。
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综上所述：冒泡排序总的平均时间复杂度为：O(n2) 。
结论：4个数列入：52比较的次数：3 次，59比较的次数：2 ，59：1次。相邻交换
根据前面的总结：
代码写法：外层循环控制排序趟数 N-1,内层循环控制每一趟排序多少次 N-i
public static void bubbleSort(){
int a[]={49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,5,4,62,99,98,54,56,17,18,23,34,15,35,25,53,51};
int temp=0;
for(int i=0;i
for(int j=0;j
if(a[j]>a[j+1]){//交换位置
temp=a[j];//把最大值给了临时变量
a[j]=a[j+1];//把小的值
a[j+1]=temp;//把最大值给
}
}
}
for(int i=0;i
System.out.println(a[i]);
}
有些追求完美的人就会思考，冒泡排序能不能优化呢？
答案是能的。如何优化的文章
优化原理：：事实上可以添加一个标志位就可以搞定这个问题：
<六>快速排序（Quicksort）（中间值）
重点分析：
先左边移动，当左边<中间值，左边继续移动，直到>中间值
然后右边移，当右边>中间值，右边继续移动，直到<中间值 。找到一对值。这个时候就把左边和右边调换
但是有一个临界条件：相等情况。继续右边移动，否则死循环了
最终左边的索引和右边的索引相等，然后就结束了。
然后以此类推
最终得到，左边<中间值，右边>=中间值
（1）快速排序是对冒泡排序的一种改进。基本思想：选择一个基准元素,通常选择第一个元素或者最后一个元素,通过一趟扫描，将待排序列分成两部分,一部分比基准元素小,一部分大于等于基准元素,
此时基准元素在其排好序后的正确位置,然后再用同样的方法递归地排序划分的两部分。
该基准点的选取可能影响快速排序的效率。以后采用递归的方式分别对前半部分和后半部分排序，当前半部分和后半部分均有序时该数组就自然有序了。
第一次演示图
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每次从无序的序列中找出一个数作为中间点（可以把第一个数作为中间点），然后把小于中间点的数放在中间点的左边，把大于中间点的数放在中间点的右边；对以上过程重复log(n)次得到有序的序列。
快速排序的时间复杂性分析：排序的大体如下图所示，假设有1到8代表要排序的数，快速排序会递归log（8）=3次，每次对n个数进行一次处理，所以他的时间复杂度为n*log(n)。
所以排序问题的时间复杂度可以认为是对排序数据的总的操作次数。
时间复杂度的计算和推理:
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static int a[]={49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,5,4,62,99,98,54,56,17,18,23,34,15,35,25,53,51};
public static void quickSort(int[]arr,int left,int right){
int l=left;
int r=right;
int pivot=arr[left+right/2];
int temp=0;
while (l
while (arr[l]
l++;
}
while (arr[r]>pivot) {
r++;
}
if(l>=r){
break;
}
temp=arr[l];
arr[l]=arr[r];
arr[r]=temp;
if(arr[l]==pivot){
r--;
}
if(arr[r]==pivot){
l++;
}
}
if(l==r){
l++;
r--;
}
if(left
quickSort(arr,left,r);
}
if(l
quickSort(arr,l,right);
}
}
其实快速排序是基于一种叫做“二分”的思想。
结论： 排完第一次，得到中间值，比左边的数列要大，比右边的数列要小。左右交换
<七>归并排序 (Merge sort)
归并排序 是一类与插入排序、交换排序、选择排序不同的另一种排序方法。归并的含义是将两个或两个以上的有序表合并成一个新的有序表。
归并排序有多路归并排序、两路归并排序 , 可用于内排序，也可以用于外排序。这里仅对内排序的两路归并方法进行讨论。
总结：2个数组排序：通过插入排序的方式
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该算法是采用分治法（Divide and Conquer）
时间复杂度：
归并排序的效率是比较高的，设数列长为N，将数列分开成小数列一共要logN步，每步都是一个合并有序数列的过程，时间复杂度可以记为O(N)，故一共为O(N*logN)。
因为归并排序每次都是在相邻的数据中进行操作，所以归并排序在O(N*logN)的几种排序方法（快速排序，归并排序，希尔排序，堆排序）也是效率比较高的。
代码实现
1.找出中间的索引
2.对左边数组递归
3.对右边的数组递归
3.合并
int a[]={49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,5,4,62,99,98,54,56,17,18,23,34,15,35,25,53,51};
public MerginSort(){
sort(a,0,a.length-1);
for(int i=0;i
System.out.println(a[i]);
}
public void sort(int[] data, int left, int right) {
// TODO Auto-generated method stub
if(left
//找出中间索引
int center=(left+right)/2;
//对左边数组进行递归
sort(data,left,center);
//对右边数组进行递归
sort(data,center+1,right);
//合并
merge(data,left,center,right); }
}
public void merge(int[] data, int left, int center, int right) {
// TODO Auto-generated method stub
int [] tmpArr=new int[data.length];
int mid=center+1;
//third记录中间数组的索引
int third=left;
int tmp=left;
while(left<=center&&mid<=right){
//从两个数组中取出最小的放入中间数组
if(data[left]<=data[mid]){
tmpArr[third++]=data[left++];
}else{
tmpArr[third++]=data[mid++];
}
}
//剩余部分依次放入中间数组
while(mid<=right){
tmpArr[third++]=data[mid++];
}
while(left<=center){
tmpArr[third++]=data[left++];
}
//将中间数组中的内容复制回原数组
while(tmp<=right){
data[tmp]=tmpArr[tmp++];
}
System.out.println(Arrays.toString(data));
}
归并排序参考;https://yq.aliyun.com/articles/49134
<8>基数排序(Radix sort属于“分配式排序”（distribution sort）)
（1）基本思想：将所有待比较数值（正整数）统一为同样的数位长度，数位较短的数前面补零。然后，从最低位开始，依次进行一次排序。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后,数列就变成一个有序序列。
总结：个位数排，十位数排，百位数排，按照HashMap的形式一样。
把个位数相同的1,2.3，分别排序。
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int a[]={49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,5,4,62,99,98,54,101,56,17,18,23,34,15,35,25,53,51};
public RadixSort(){
sort(a); for(int i=0;i
System.out.println(a[i]);}
public void sort(int[] array){
//首先确定排序的趟数; int max=array[0]; for(int i=1;i
if(array[i]>max){
max=array[i]; }
｝
int time=0; //判断位数; while(max>0){
max/=10; time++; }
//建立10个队列; List queue=new ArrayList(); for(int i=0;i<10;i++){
ArrayList queue1=new ArrayList(); queue.add(queue1); }
//进行time次分配和收集; for(int i=0;i
//分配数组元素; for(int j=0;j
//得到数字的第time+1位数; int x=array[j]%(int)Math.pow(10, i+1)/(int)Math.pow(10, i); ArrayList queue2=queue.get(x); queue2.add(array[j]); queue.set(x, queue2); }
int count=0;//元素计数器; //收集队列元素; for(int k=0;k<10;k++){
while(queue.get(k).size()>0){
ArrayList queue3=queue.get(k); array[count]=queue3.get(0); queue3.remove(0); count++; }
}
}
}
二分查找：
