近世代数理论基础1：集合

2019-01-31 本文已影响9人溺于恐

集合

定义

定义：一些元或研究对象的全体,称为集合

例

单元集：一个集X仅有一个元素,X={x}

实数集的闭单位区间I： $I=\{t\in R|0\le t\le 1\}$

模m的同余类(剩余类)

设 $m\in Z_+$ ,对任意的 $0\le i\lt m$ ,定义 $[i]=\{km+i|k\in Z\}$

则 $[0],[1],\cdots,[m-1]$ 都是集合

以上述集合为元,可构成另一个集合,记作 $Z/mZ=\{[0],[1],\cdots,[m-1]\}$

代数数

集合 $K=\{\alpha\in C|\exists f(x)\in Z[x]使f(\alpha)=0\}$ 中的元称为代数数

代数整数

集合 $R=\{\alpha\in C|\exists 首一多项式f(x)\in Z[x]使f(\alpha)=0\}$ 中的元称为代数整数

集合运算

交集： $A\cap B=\{a|a\in A且a\in B\}$

并集： $A\cup B=\{a|a\in A或a\in B\}$

差集： $A\backslash B=\{a|a\in A且a\notin B\}$

直积： $A\times B=\{(a,b)|a\in A,a\in B\}$

运算规律

定理： $\forall A,B,C,X$

交换律： $A\cup B=B\cup A$

$A\cap B=B\cap A$

结合律： $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$

$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$

分配律： $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

$De\cdot Morgan公式$ ： $X\backslash(A\cup B)=(X\backslash A)\cap (X\backslash B)$

$X\backslash(A\cap B)=(X\backslash A)\cup (X\backslash B)$

证明：

$先证X\backslash(A\cap B)\subset(X\backslash A)\cup (X\backslash B)$

$\forall x\in X\backslash (A\cap B),有x\in X且x\notin (A\cap B)$

$x\notin A或x\notin B$

$x\in X,x\notin A\Rightarrow x\in X\backslash A$

$x\in X,x\notin B\Rightarrow x\in X\backslash B$

$\therefore x\in X\backslash A或x\in X\backslash B$

$即x\in (X\backslash A)\cup(X\backslash B)$

$再证(X\backslash A)\cup (X\backslash B)\subset X\backslash(A\cap B)$

$\forall x\in(X\backslash A)\cup (X\backslash B),有x\in X\backslash A或x\in X\backslash B$

$若x\in X\backslash A,则x\in X且x\notin A$

$x\notin A\Rightarrow x\notin A\cap B$

$\therefore x\in X\backslash (A\cap B)$

$若x\in X\backslash B,同理可得x\in X\backslash (A\cap B)$

$\therefore X\backslash(A\cap B)=(X\backslash A)\cup (X\backslash B)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

相交与重叠

定义：若两集合A与B, $A\cap B=\varnothing$ ,则称为不相交的,否则称为重叠的

交集和并集运算推广

集合的并和交的概念可推广到任意数目的集合族上

给定子集簇 $\{A_i|i\in I\}$ ,其中I为某个指标集

$\bigcap\limits_{i\in I}A_i=\{x|\forall i\in I有x\in A_i\}$

$\bigcup\limits_{i\in I} A_i=\{x|\exists i\in I使x\in A_i\}$

集合的阶

给定集合A,用 $|A|$ 表示集合A中元的个数,称为集合A的阶(势)

有限集与无限集

若集合A中元的个数有限,则成为有限集,否则称为无限集

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