何谓数学思维？—— 小学数学教育重新认知系列之五

经过一年多在学而思的数学学习之后，润润开始有点不喜欢学而思的教学方法。

在这段时间里，润润从开始的普通班逐级升到高阶班，伴随着越来越多样化的题目，他需要记忆和练习的解题方法越来越多，并且每周的作业也开始增加。

在这段时间里，我旁观普通班到高阶班的过程，深深的洞察到学而思的方法始终如一，没有丝毫进步，就是题海战术。

何谓题海？题海不是指题目多，而是指题目的类型多。比如经常在学而思课本上看到的鸡兔同笼、半路相遇之类的题目。

在教材的逻辑组织上，老师把题目分成若干种类型，然后给每个类型的题目赋予一种最优解法，最后根据每种类型题目涉及到的知识点给题目进行难易程度排序。

在教学方法上，老师先是通过示范题目教会小朋友这一个题目的最优解法，接着引申出这一类型题目的最优解法，最后通过类似题目的重复练习让小朋友对这类题目和它的解法形成肌肉记忆。

这种教学方法逻辑清晰，目的明确并且路径最优，貌似科学，但骨子里它违背人性同时也与真正的数学思维分道扬镳。它的优点在于教学成果最容易被清晰地衡量，也最容易被批量生产。容易做到的事情往往未必是重要的事情。

“数学是一门模式的科学”，Keith Devlin在《数学的语言，化无形为可见》一书中开宗明义提出来。

模式是区别于经验、故事、美感之外人类认知世界的另一种方式，数学就是关于模式的语言。模式必然是抽象的，一般性的概念是理解模式的关键，而具体的规则和方法则不是。

具体的规则和方法会因具体的问题不同而产生差异，比如在小学数学中，火车对开的题目和工程工期的题目的解题方法截然不同，但放在模式的视角下去看，这类应用题都可以用事物之间相等关系来表达，用方程组的一般方法来求解。

菲尔兹奖得主William Thurston曾这样描述他体验到的数学乐趣：“数学是可高度压缩的。你可能苦思良久，一步又一步，从好几种方向切入同一个过程或想法，不过一旦你想通了，心智产生整体的视角，往往就会有极大的心智压缩。你可以把它归档，在需要时迅速而完整地唤回记忆，就像其他心智过程的一个步骤般拿来运用。压缩的过程是数学真正的乐趣之一。”

具体的规则和方法是没办法压缩的，因为它是具体的，必须在具体的环境中才有合理的意义，离开具体的上下文关系它就失去了作用，所以无法压缩。人们也无从记住那么多类型的具体题目和与之对应的解法。

小朋友在这条路上走得愈久，就会日益觉得数学的枯燥、机械、乏味，对数学日增厌恶。但真正的数学不是这样的，比如几乎与运动相关的问题都可以在微分这个一般模式下获得解答，人们只要理解了微分这个通用概念和相应的模式，就可以解释几乎所有与运动相关的事情。

相比数十种具体的方法，微分这个通用概念就能压缩的，一旦你理解了，它只占据脑回路中极少的位置，却能解决一个广阔领域的问题。它代表着数学整体观念上的一次全新拓展。

小朋友只有形成对数学模式的理解和思考，才能感受到数学那恢弘的气势、精妙的格局，并发自内心地热爱数学。

菲尔兹奖得主蒂莫西通过对七则运算法则的推导，把人类已知的数出现看作是运算逻辑的必然结果就是拓展了对“数”的概念的认知。通过对模式的理解与思考才是小朋友真正要学习的。

今年遇到的最好的例子就是“美国数学大联盟”国内决赛题中关于“计程车几何”的题目。

想象一下你住在一个类似围棋盘的城市中，经线和纬线代表城市道路，中间的方格是建筑物。作为计程车司机，从A点到B点的最短距离不是两点之间的欧氏几何连线，因为中间有障碍物，而是经线和纬线距离之和的最小值。

初看此题会觉得很突兀，与欧氏几何差距甚大，但仔细琢磨，如果把直线定义为两点之间的最短距离，就豁然开朗，就好比在球体的表面积上的两点之间最短距离（大圆圆周上两点之间短的那条连接线）按照欧氏几何的定义来看是曲线，也非直线。

从这个意义上来说，计程车几何打开了一个全新的几何领域，在这里旧的概念依然适用，但仅仅在它抽象的意义上。在具体形态方面，它已经完全不同，这种不同在深入思考和认知过程中能加深了小朋友对几何的认知。

2010年，全球知名数学研究公司的Wolfram Alpha公司CEO Conrad Wolfram在TED的演讲中提到数学研究的四个阶段：
1. 提出问题
2. 从现实世界走向数学模型
3. 执行计算
4. 从模型回归现实世界，看看原先的问题是否解决。

美国数学大联盟考试中“计程车几何”问题完美体现了Cornad Wolfram提到的四个阶段，从实际问题出发，探索概念的核心内涵、建立模型、解决问题。

但在经历学而思培训的这一年多里，我对通过社会教育的途径达成此教育目的的可能性深感悲观。如今社会盛行的简易目标观和与之而来的激励机制形成了自带正反馈的困境，摆脱困境只能是依靠每位父母自身的努力。

推荐书目：
Conrad Wolfram：用电脑教孩子们真正的数学（TED演讲）
Keith Devlin：Why you're a mathmatical genius (Along with Lobsters, Birds, Cats and Dogs )，在此书中，Devlin向我们呈现了大自然中无处不在的数学模式。