二、无穷小比阶(1.47-1.63)

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2020张宇1000题·数一·刷题记录

第一篇高等数学

第1章极限、连续

二、无穷小比阶(1.47-1.63)

通过几种等价替换确定阶数， $5>n+1>3$ ，卡正整数的值。
分母无理化之后有惊喜， $tanx-sinx \sim {\frac{1}{2} }x^3$ 。
多个无穷小量共同作用，看阶数最小的那个。
正常等价替换或泰勒，展开原则，式子的和不能为0，阶数取x次数最低的那个。
？？？为什么xlnx不是一阶无穷小？
$xlnx=x[(1+x)-\dfrac{1}{2}(1+x)^2+o(x^2)]\sim x^?$
原式时x的阶无穷小，故原式/x^k的极限存在。（而且一般不为0吧）
$\alpha'=cos\ x^2\sim o(x^0);\quad \beta'=2x\ tan\sqrt{x^2}\sim 2o(x^2);\quad \gamma'=\dfrac{1}{2\sqrt x}\ sin\ {\sqrt x}^3\sim \dfrac{1}{2}o(x^1);$
错误做法： $\lim \limits_{x \to 0}sinx(cosx-4)+3x\sim (x-\dfrac{1}{6}x^3)(1-4)+3x=\dfrac{1}{2}x^3$ ，~~所以3阶无穷小~~。
直接泰勒展开后（各展开两项）相乘相加，或者相乘后再泰勒展开（各展开三项）相加，最后x的所有低阶都被消去了，只留下一个x的高阶（若剩有多项的话，看x次数最低的那项）。
(1)提取 $\sqrt2$ 出来，往 $(1+x)^\alpha -1\sim\alpha x$ 上靠。(2)(3)两个等价替换。
往 $x-sinx$ 上靠，两次 $sinxcosx=\frac{1}{2}sin2x$ 。
跟1.44看起来有点像，但不是同一种类型。直接泰勒展开，消去1，取x阶数最小的即可，原式~7x^2。答案第二种方法比较麻烦，还有？？？为啥 $sinxcosxcos2xcos3x=\dfrac{1}{4}sin4xcos3x=\dfrac{1}{8}(sin7x-sinx)$ 。
原来是用了三角函数的积化和差公式，另外也复习下和差化积公式吧。
提取与等价替换。
同上，提取与等价替换，往 $e^x-1\sim x$ 上靠。
求导与等价替换。
$lna-lnb=ln\dfrac{a}{b}$ ，再拆分与等价替换 $\lim \limits_{f(x) \to 1} ln[f(x)]=\lim \limits_{f(x)-1 \to 0} ln[1+f(x)-1]\sim f(x)-1$
拆分与等价替换。
有那种做高考数学题的感觉，计算麻烦，但算出来很爽。先画图理清题意，再根据已知条件构建公式，然后将未知数用式子表达出来。最后再根据同阶，代入极限+保留阶数。