2018-04-18 开胃学习数学系列 - 常微分方程

心态崩了，一把年纪重新学习ODE。反复说，年轻时候好好学数学。

一个方程里包含了未知量，可能不是未知数，是未知函数，可能是个算子。

函数方程，泛函方程：
微分方程就是一种函数为未知

微分方程：
未知量既有自变量，未知函数，又有未知函数的导数的函数方程。

这个是函数方程：
Φ(x^2 + 1) = 2 Φ(x)

这个是常微分方程：
dφ/dt2 + k^2 φ + r φ^3 = A cos ω t

这个是偏微分方程：
dφ/dt = d^2 φ /d^2 x
常微分方程对另外的变量不求导，偏微分方程对于两个都要求导

这个是n阶高微分方程

F(t, d' φ, d'' φ, d''' φ...) = 0

怎么写常微分方程很难，怎么求解更难。

假设弹簧在 x位置，阻力是 -μ dx/dt，t时刻受到的弹力是 -kx(t)
得到二阶微分方程：

m (d'' x / dt^2 ) + μ dx/dt + kx = 0

怎么求解呢！？我要简单理解这个问题...

一是近似计算，因为常微分方程按照古典方法是没有办法解的
二是几何分析，用逼近法
三是微分方程形式，化简

什么是隐函数：
F(t,x) = 0 可以写出一个 x = φ(t)

我们有通解？
我们得到的是一组解

在不同时间，解不一样。
初值问题

要看他们独立与否：

施加条件之后，我们可以看出来，解是否唯一。

定解条件。

这里其实可以用自由落体来做案例。有附加条件：有初始速度，也就是有初值。柯西条件。

知道解存在不存在，知道这个解唯一不唯一，这两个问题很重要。

t = t0 时，就是初始问题
可以猜一个Φ放进去求解
问这个序列收敛嘛？做个循环。
在保证了收敛性的情形下，对较大的n，函数Φn(t) 就是一个近似解。
难的不是序列，就是不知道收敛性。