大数定律和中心极限定理

怎么理解大数定律和中心极限定理?

大数定律是关于大量的随机现象具有稳定性质的法则, 随着样本容量n的增加， 样本均值依概率收敛于总体的平均数 。 2.png

这一原理揭示了样本指标和总体指标的内在联系, 随着n的增大, 样本指标以总体指标为极限。

大数定律论证了抽样平均数趋近于总体平均数的趋势, 但是抽样平均数和总体离差有多大？ 这个离差分布的状况是怎么样的？离差不超过一定范围的概率有多大? 大数法则没有给出这个信息， 中心极限定理给出了结论。中心极限定理：如果总体存在均值和方差，分别是 1.png

那么无论总体分布如何, 随着抽样数n的增加(n>=30, 认为是大样本), 抽样平均数的分布就趋近于正态分布。n -> +∞, x拔 ~ N(总体均值, 总体方差/n)。对x拔进行线性变换, 变成标准正态分布， 即 t = x拔-X拔/ (总体方差/n）^0.5 ~N(0, 1) 。
这样可以方便的求出 抽样平均数和总体平均数之间的离差以及离差不超过一定范围的概率， 如 P(|t|<2) = 95.45%