数论不止好玩

数学最古老的子领域之一。它自古以来就一直被研究，从许多方面来看，它是所有数学的基石。我个人一直非常喜欢它，因为它的纯粹性。

但它究竟是关于什么的呢？

数论这一学科专注于研究自然数，也就是我们用来计数的正整数。考虑到人类已经花费了将近4000年的时间来探索这些看起来非常基础的数字，有人可能认为到现在为止，我们对它们的了解应该已经十分彻底了。

但就像生活中的许多事情一样，这种看似简单的模式在更深入地探索时变得复杂得多。特别是，在探索加法和乘法这两个简单的运算时，它们变得非常神秘。

在数论的研究领域中，对自然数即正整数的乘法结构的探索占据了重要位置。这种探索基于一个关键的发现：自然数可以通过一种被称为“乘法DNA”的方式来理解，即每个自然数都可以表示为质数的乘积。这一概念借鉴了生物学中DNA的原理，其中生物的遗传信息是通过一系列基础分子的组合来编码的。通过这样的视角，自然数的构成被看作是质数的特定组合，这种组合唯一地确定了每个数的性质，就像DNA决定了一个生物的基本特征一样。

质数是大于1的数p，使得p的唯一除数是1和p。质数序列开始于2, 3, 5, 7, 11, …，寻找第n个质数的通用公式从公元前300年希腊人开始研究它们以来，一直是数学的一个圣杯。

为了让你感受到这种独特性，以12为例。12的质数分解是{2, 2, 3}，因为12 = 2⋅2⋅3 ，并且它不能使用任何其他质数来表示。

这立即引发了两个非常自然的问题：

自然数中的质数分布有没有规律？

质数有多少个？

我们知道，随着数字越来越大，质数变得越来越稀少。连续质数之间的间隔可以任意大，然而公元前300年，欧几里得证明实际上存在无限多个质数。

我们也知道质数的近似分布，即我们有渐近公式来估算一定数值范围内质数数量。高斯猜想质数大致像函数x/log(x)那样增长，这里的log是自然对数（在其他情境中经常表示为ln），这在19世纪末被证明。从那时起，寻找更好的近似一直在进行中。我们相信为真的最终结果称为黎曼假设（Riemann Hypothesis），然而，这到今天仍然未解决。