大数据中的统计学基础——Day4
本章内容
- 随机变量
- 分布律、0-1分布、伯努利试验
- 二项分布、n重伯努利试验
- 泊松分布
- 分布函数（累积分布函数CDF）
- 概率密度函数
- 均匀分布
- 正态分布
一、随机变量
抛一颗骰子,用X记录得到的点数
将一颗硬币抛三次，用Y记录三次抛掷得到正面朝上的总数
对于明天的天气,用Z ={0:不下雨,1:下雨}，记录明天是否下雨
以上的X、Y. Z都是随机变量——一个从样本空间映射到实数域的函数
定义:设随机试验的样本空间为S={e} , X=X(e)是定义在样本空间S.上的实值单值函数,称X=X(e)为随机变量。
离散与连续的区别就看能不能写出随机变量的每一个取值，是否每一个取值都有一定的概率。
二、分布律、0-1分布、伯努利试验
试验：将一颗硬币抛三次。用X记录硬币在三次抛掷中正面向上的次数。将X的所有可能取值相对应的概率算出来。
样本空间：S={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}
X所有可能的取值：0，1，2，3
P(X=0)=P{TTT}=1/8
P(X=1)=P{HTT,THT,TTH}=3/8
P(X=2)=P{HHT，HTH，THH}=3/8
P(X=3)=P{HHH}=1/8
离散型随机变量X的分布律为：
例1：从生产线上随机抽产品进行检测,设产品的次品率为p, 0<p<1 ,若查到一只次品就得停机检修,设停机时已检测到X只产品，试写出X的概率分布律。
例2：某人骑自行车从学校到火车站, 一路上要经过3个独立的交通灯,设各灯工作独立且设各灯为红灯的概率为p , 0<p<1 ,以X表示首次停车时所通过的交通灯数,求X的概率分布律。
设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai) = p, i = 1,2,3。Ai之间相互独立。
如果只经过一个交通灯，那么X的取值只能是0或1.分布律变为:
像这种，随机变量只能取0或1的情况（试验的可能结果只分为两种情况），我们称X服从以p为参数的（0-1）分布或两点分布。
这种结果只分为两种情况的试验又称为伯努利试验。
三、二项分布与n重伯努利试验
将一个伯努利试验重复n次，就是n重伯努利试验。
举例：
二项分布：
可归纳出：
这时我们称X服从参数为n，p的二项分布。分布律为
,记为X~B(n,p)
当n= 1时，二项分布就是（0-1）分布。
举例：
某人独立射击400次，设每次命中率为0.02， 0<p<1，设命中X次
(1) 求X的概率分布律；(2) 求至少有两次次命中的概率。
不放回抽样在样本总量很大的情况下可以近似使用二项分布，当放回处理，误差影响不大。
例2：按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品.已知某一大批产品的一级品率为0.2,现在从中随机地抽查20只.问20只元件中恰有k只(k=0,1,..20)为一级品的概率是多少?
四、泊松分布
泊松定理：
举例：
计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片,次品率达0.1%,各芯片成为次品相互独立.求在1000只产品中至少有2只次品的概率.以X记产品中的次品数,X~b( 1000,0.001).
利用近似公式计算：
五、累积分布函数（CDF）
区别于描述离散型随机变量的分布律，使用CDF来描述连续型随机变量。CDF是更通用的描述方式，离散型与连续型都可以满足。
设X是一个随机变量，x是任意实数,函数F(x)=P{X≤x}称为X的分布函数(累积分布函数)
分布函数具有以下性质：
举例：
1、离散型随机变量：
2、连续型随机变量：
六、概率密度函数
承接上例：
概率密度函数（PDF）：
概率密度函数满足以下性质：
如何理解概率密度函数：
其意义表示在任意X = x点处左右一个很小的邻域中取值的概率，这样CDF才可以用积分形式来表达。
七、均匀分布
注意：对于连续型随机变量X，X等于某个特定值的概率很小，基本可以看做是0
八、正态分布
1、性质：
特别的，当μ=0, σ2 =1时,称X服从标准正态分布,其概率密度和分布函数分布用φ(x) , φ (x)。
2、正态分布与标准正态分布的转换：
举例：
3、二项分布与正态分布的联系：
二项分布是离散情况下的正态分布。当n足够大时，可以用正态分布近似二项分布，从而避免二项分布中繁杂的计算。 若X~B(n,p)，当n足够大时，有 X近似服从正态分布N(np,np(1-p))
