地标性高考数学题人生几何？高中数学纲目

地标性考题：2014年文数全国卷A题20

2021-09-01 本文已影响0人易水樵

方程与曲线：2014年文数全国卷A题20

（20）（本小题满分12分）
已知点 $P(2,2)$ ，圆 $C:x^2 + y^2 -8y =0$ ，过点 $P$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A，B$ 两点，线段 $AB$ 的中点为 $M$ ， $O$ 为坐标原点.
（I）求 $M$ 的轨迹方程;
（Ⅱ）当 $|OP|=|OM|$ 时，求 $l$ 的方程及 $\triangle POM$ 的面积.

【分析】

假如要从高中数学的研究对象中评选出一个最核心的、高考中出场最频繁的，那答案应该就是圆。

圆内有无数的等腰三角形和直角三角形。所以，与圆相减的问题，经常可以用三角形的知识来解决。

【问题1的解法一：向量方法】

圆 $C$ 的方程可以变形为： $x^2+(y-4)^2=4^2$

可见，圆 $C$ 的圆心坐标为 $(0,4)$ , 半径为 $4$ .

因为点 $M$ 是线段 $AB$ 的中点，根据垂径定理， $CM \perp PM$ , $\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{PM} = 0$

设点 $M$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$ , 则 $(x_0-0)(x_0-2)+(y_0-4)(y_0-2) =0$

整理后得： $(x_0-1)^2+(y_0-3)^2=2$

结论： $M$ 的轨迹方程为： $(x-1)^2+(y-3)^2=2$

【问题1的解法二：勾股定理】

圆 $C$ 的圆心坐标为 $(0,4)$ , 半径为 $4$ . 依据垂径定理可知： $CM \perp PM$ , $|CM|^2+|PM|^2=|CP|^2$

设点 $M$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$ , 则 $(x_0-0)^2+(y_0-4)^2+(x_0-2)^2+(y_0-2)^2=(2-0)^2+(2-4)^2=8$

整理后得： $(x_0-1)^2+(y_0-3)^2=2$

结论： $M$ 的轨迹方程为： $(x-1)^2+(y-3)^2=2$

【问题1的解法三：斜率之积】

圆 $C$ 的圆心坐标为 $(0,4)$ , 半径为 $4$ . 依据垂径定理可知： $CM \perp PM$ , 所以两条直线的斜率之积为 $-1$ , 即

$k_{_{CM}} \cdot k_{_{PM}} =-1$

设点 $M$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$ , 则

$\dfrac{y_0-4}{x_0-0} \cdot \dfrac{y_0-2}{x_0-2} = -1$

整理后得： $(x_0-1)^2+(y_0-3)^2=2$

结论： $M$ 的轨迹方程为： $(x-1)^2+(y-3)^2=2$

【问题1的解法四：几何方法】

圆 $C$ 的圆心坐标为 $(0,4)$ , 半径为 $4$ . 依据垂径定理可知： $CM \perp PM$ .

因为 $C,P$ 是定点，点 $M$ 是动点，且 $\angle CMP = 90°$ ，根据平面几何的知识，点 $M$ 的轨迹是以 $PC$ 为直径的圆。

其半径为 $\dfrac{1}{2}|PC|=\sqrt{2}$ , 其圆心为 $(1,3)$

所以， $M$ 的轨迹方程为 $(x-1)^2+(y-3)^2=2$

【问题2的解法一：两个圆的公共点】

如图所示，因为 $|OP|=|OM|$ ，点 $M$ 满足以下方程： $x^2+y^2=8$

结论问题1的结论可知，点 $M$ 满足如下方程组：

$\left\{ \begin{array}\\ x^2+y^2=8\\ (x-1)^2+(y-3)^2=2 \end{array} \right.$

解得：

$x_1=2,\;y_1=2$

$x_2=-\dfrac{2}{5},\;y_2=\dfrac{14}{5}$

显然，这是 $P,M$ 两点的坐标。

$|OP|=2\sqrt{2}$

直线 $OP$ 的方程为： $x-y=0$

点 $M(-\dfrac{2}{5},\dfrac{14}{5})$ 到 $OP$ 的距离为： $|MG|=\dfrac{|-\dfrac{2}{5} - \dfrac{14}{5} | }{ \sqrt{2} }$

$S_{\triangle POM} = \dfrac{1}{2} \cdot |OP| \cdot |MG|= \dfrac{16}{5}$

【问题2的解法二：直线与圆的公共点】

由题设条件可知： $\triangle POM, \triangle PDM$ 是等腰三角形，直线 $DO$ 是 $PM$ 的垂直平分线。

$k_{_{DO}}=3 \Rightarrow\; k_{_{PM}} = -\dfrac{1}{3}$

直线 $PM$ 的方程为： $y=-\dfrac{1}{3}(x-2)+2$

点 $M$ 满足如下方程组：

$\left\{ \begin{array}\\ x+3y=8\\ (x-1)^2+(y-3)^2=2 \end{array} \right.$

以下同方法一。

【提炼与提高】

本题难度不高，但却很有典型性、代表性。这样的考题就是地标性考题。

作为一个典型例题，本题很好地回答了这样一个问题：

$\boxed{\mathbb{Q}}$ 如何利用已知条件中的直角？

$\boxed{\mathbb{A}}$ 在解析几何中，应该从以下几个方向考虑：

1）向量之积为 $0$ ；

2）勾股定理；

3）斜率之积等于 $-1$ ；

4）直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半；

本题第1问的四种解法分别展示了以上四个方向。

本题中还可以提炼出一个常用结论。

『常用结论』： 如果圆的弦经过圆内一个定点，则弦的中点的轨迹是一个圆。

在最近十年的高考题中，有若干个考题可以用这一结论破解。

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