2.磁场的散度和旋度

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电荷守恒起源于电磁场的规范对称性

基础知识

1.电荷密度

$\rho=\lim _{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta q}{\Delta V} \quad\quad\quad\quad \rho=\sum_{i} q_{i} \delta\left(x-x_{i}\right)$

$\sigma=\lim _{\Delta{S} \rightarrow 0} \frac{\Delta q}{\Delta{S}}\quad\quad\quad\quad\lambda=\lim _{\Delta{l} \rightarrow 0} \frac{\Delta q}{\Delta{l}}$

2.电流密度

$\vec{J}=\rho \vec{v}$
其中 $\vec{v}$ 代表电荷密度 $\rho$ 的速度。

3.电流强度

$I=\oint_{S} \mathbf{J} \cdot d \mathbf{S}$

4.电荷守恒定律

由电荷守恒，流出曲⾯S的总电流等于体积V内电荷减⼩率:
$\begin{aligned} &\oint_{S} \mathbf{J} \cdot d \mathbf{S}=-\int_{V} \partial_{t} \rho d V&\text{（电荷守恒定律积分形式）} \\ &\oint_{S} \mathbf{J} \cdot d \mathbf{S}=\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{J} d V&\text{（高斯定律）} \end{aligned}$ ‘
得到电荷守恒定律的微分形式：
$\nabla\cdot\mathbf{J}+\partial_{t} \rho=0$

5.毕奥—萨伐尔定律

$\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{V^{\prime}} \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{x}^{\prime}\right) \times \mathbf{r}}{r^{3}} d V^{\prime}$
因为 $\mathbf{J} d{V'}=\mathbf{J}dSdl= \mathbf{I} d \mathbf{l}$ ,所以也有以下形式：
$\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \oint_{L} \frac{I d \mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^{3}}$

磁场的散度和旋度

1.用毕奥萨伐尔定律推导安培环路定理

推导过程：

$\oint_{L} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=\mu_{0} I$
2.磁场的旋度
用斯托克斯公式 $\int_{S}(\nabla \times \mathbf{B}) \cdot d \mathbf{S}=\oint_{L} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}$ 和安培环路定理 $\oint_{L} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{l}=\mu_{0} I$ 和电流强度定义 $I=\oint_{S} \mathbf{J} \cdot d \mathbf{S}$ 推出磁场的旋度公式：
$\nabla \times \mathbf{B}=\mu_{0} \mathbf{J}$
3.磁场的散度
由高斯公式 $\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{B} d V=\int_{S} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{S}$ ，以及规律任何闭合曲⾯的总磁通量为零可以得到 $\int_{S} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{S}=0$
推出磁场的散度公式：
$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$