高中数学纲目

函数与导数大题：2017年理数全国卷C题21

2022-05-25 本文已影响0人易水樵

2017年理数全国卷C题21

已知函数 $f(x)=x-1-a \ln x$ .

（1）若 $f(x) \geqslant 0$ ，求 $a$ 的值;

（2）设 $m$ 为整数，且对于任意正整数 $n$ ， $(1+\dfrac{1}{2})(1+ \dfrac{1}{2^2}) \dots (1+ \dfrac{1}{2^n}) \lt m$ ，求 $m$ 的最小值.

【解答问题1】

函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$

$f(1)=0$

$f'(x)=1-\dfrac{a}{x}$

若 $a=1$ , 则

$x \in (1,+\infty), f'(x) \gt 0, f(x)$ 单调递增， $f(x) \gt 0$ ;

$x \in (0,1), f'(x) \lt 0, f(x)$ 单调递减， $f(x) \gt 0$ ;

若 $a \gt 1$ , 则

$a \in (1, a), f'(x) \lt 0, f(x)$ 单调递减， $f(x) \lt 0$ ;

若 $0 \lt a \lt 1$ , 则

$x \in (a,1), f'(x) \gt 0, f(x)$ 单调递增， $f(x) \lt 0$ ;

若 $a \leqslant 0$ , 则

$x \in (0,1), f'(x) \gt 0, f(x)$ 单调递增， $f(x) \lt 0$ ;

综上所述， $a=0$ .

【解答问题2】

根据前节结论有： $\ln(x) \leqslant x-1$

$\ln(1+\dfrac{1}{2}) \leqslant \dfrac{1}{2}$

$\ln(1+\dfrac{1}{2^2}) \leqslant \dfrac{1}{2^2}$

$\cdots$

$\ln(1+\dfrac{1}{2^n}) \leqslant \dfrac{1}{2^n}$

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \cdots + \dfrac{1}{2^n} = 1-\dfrac{1}{2^n}$

$\ln(1+\dfrac{1}{2}) + \ln(1+\dfrac{1}{2^2}) + \cdots + \ln(1+\dfrac{1}{2^n}) \leqslant 1- \dfrac{1}{2^n}$

$(1+\dfrac{1}{2}) (1+\dfrac{1}{2^2}) (1+\dfrac{1}{2^n}) \lt e$

另一方面，对于任意的 $d \gt 0$ , 若 $n \gt \log_2 \dfrac{1}{d}$ , 则 $\dfrac{1}{2^n} \lt d$ ,

$1-\dfrac{1}{2^n} \gt 1-d$

综上所述， $m$ 的最小值为 $e$ .

【提炼与提高】

应用第1问的结论解答第2问，是高考中常用的考查方法.

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