神经网络算法实现
AlphaGo在人机大战中战胜李世乭让深度学习这个名词在大众口中广为传播，深度学习的强大，也让其增加了一层神秘色彩，似乎这是名校博士才能理解的算法。虽然相关的论文自己也无法看懂，然而，在网络查阅了无数资料之后，才发现如果不去纠结理论的证明，只关心结论的话，神经网络算法也并非高不可攀。
在查阅资料的过程中，有幸看到iamtrask的一篇文章A Neural Network in 11 lines of Python (Part 1)，文章抛弃推理，直接从结论出发，用简单的Python实现了一个简易的神经网络算法，对于像我这样数学基础一般的初学者，具有很大的启发作用。本文主要参考这篇文章，并加入自己的理解，试图以易于理解的方式阐述其思路，如果有表述不当的地方，您可以参考原文，或者参考其中文翻译。
什么是神经网络算法
在解释什么是神经网络之前，我们先明确几个机器学习中的术语：特征，样本，监督学习
- 样本：可以用于学习的个体，我们可以获得这些个体的其某些信息，并且我们已知这些个体的类别
- 特征：同一属性在不同个体所体现出来的特点，在神经网络中，特征应该是易于提取的
- 监督学习：根据样本中个体的特征以及类别，然后创建我们的判定规则，并依靠这些调查所得信息，调整我们的规则，使得规则的预测结果尽可能接近我们的样本，这样，我们利用这个规则和新个体的特征信息，来判定其所属分类
举个例子，我们想要构建一套性别识别算法，而我们能够获得的特征信息只有三种：这个人不是长头发；衣服颜色是红色；身高是否超过了178cm。那以一个正常成年人的思维，我们应该采用什么策略来判断这个人的性别呢？
我想大部分人都会采用和我一样的策略：依据我们平时的经验，一个人如果留长头发，很大可能这个人是女的，而一个人穿红色衣服，很难判断其性别，一个人身高超过175cm，在中国人里面可能都属于偏高的，而依据我们的经验，男性的平均身高要大于女性，所以单纯通过身高这个信息，我们推断这个人是男性的可能性较大。
以上推测过程中，我们对每一个条件的推断都基于一个词，经验，这里的经验就是我们长期以来观察身边的人的特征所留下的记忆。而我们的推测结果主要用了一个词汇，可能性，其代表基于某条已知信息推测出某个未知结论的概率。
科学家将我们的思维方法归纳为信息在神经元之间的传导过程，这些神经元每一个都处理及简单的信息，但是通过无数个神经元之间错综复杂的连接传导，使得我们的大脑能够处理及其复杂的信息。神经网络算法就是对我们大脑思维方式的抽象，比如在上面的例子中，我们将每一个特征，输入到一个神经元，这些接受输入的神经元构成了第一层神经网络，也叫做输入层，我们的目标是判断一个人的性别，是男是女分属于两个不同类别，我们将其抽象为一个神经元，这个神经元构成神经网络的输出层，每一个特征（输入层神经元），都有到分类（输出层神经元）的连接，也就是从特征转化为分类的概率（权重），通过综合各个连接的权重，传送到输出神经元。
人工神经网络模型
以上便是神经网络算法最简单的模型，神经网络算法的学习过程中，首先随机初始化各层神经元之间的连接权重（上文中的可能性），然后输入样本进行预测，根据预测的误差，调整神经网络中的权重，完成这个过程之后，我们的神经网络就训练好了。所以，神经网络训练的结果，就是得到各个连接的权重（经验），这样，一旦有新的数据输入神经网络的时候，就能推测出其分类了。
神经网络算法实例
问题定义
还是用上面的预测性别的例子，现在将其数学化，假设在一群人中，我们只能获得每个人的三个特征：
- 特征1：长发（1）还是短发（0）
- 特征2：衣服颜色是红色（1）还是不是红色（0）
- 特征3：身高大于178cm（1）还是不超过178（0）
假设我们只知道其中四个人的性别（男：0，女：1），我们需要依据这四个人的三个特征以及性别训练一个神经网络，用于预测一个人的性别。样本信息如下：
| 头发 | 衣服 | 身高 | 性别 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
下面我们先实现最简单的单层神经网络。我们用X表示输入的特征向量，由于每个样本有三个特征，一共有四个样本，所以我们定义一个4X3的矩阵，每一行代表一个样本，如下代码所示。其中，NumPy是Python语言的一个扩充程序库。支持高级大量的维度数组与矩阵运算，此外也针对数组运算提供大量的数学函数库。
#import numpy
import numpy as np
# input dataset
X = np.array([ [0,0,1],
[0,1,1],
[1,0,1],
[1,1,1] ])
而四个样本对应输出（分类结果）我们用一个1X4的矩阵表示。“.T” 为转置函数，转置后变成了4X1的矩阵。同我们的输入一致，每一行是一个训练实例，而每一列（仅有一列）对应一个输出节点。因此，这个网络还有三个输入和一个输出。代码如下所示：
# output dataset
y = np.array([[0,0,1,1]]).T
训练开始之前，我们先要初始化神经网络的权重，由于输入层有三个神经元，而输出结果只有一个神经元，所以权重矩阵为3X1。由于一般初始化权重是随机选择的，因此要为随机数设定产生的种子，如下第一行代码所示。这样可以使每次训练开始时，得到的训练随机数都是一致的。这样便于观察策略变动是如何影响网络训练的，消除初始权重的影响。
对于第二行代码，这里由于我们要将随机初始化的权重矩阵均值设定为 0 （至于权重矩阵的初始化，大家有兴趣的话，请查看相关资料）。因此使用第二行代码来计算syn0(第一层网络间的权重矩阵)，如下所示：
# seed random numbers to make calculation
# deterministic (just a good practice)
np.random.seed(1)
# initialize weights randomly with mean 0
syn0 = 2*np.random.random((3,1)) - 1
为了将输出的权重归一化，定义一个sigmoid函数，其定义为：
sigmoid
sigmoid函数的特点是，其导数可以用其自身表示出来，在计算的时候，我们只需要计算出其函数值，就可以计算出其导数值，从而可以减少浮点运算次数，提高效率，其导数如下：
由于我们的输入X中一共有四个样本，我们进行“批量的训练”，所以其过程类似于下图所示：
在上述代码中，我们通过10000次迭代，我们得到的输出结果如下：
Output syn0 After Training:
[[ 9.67299303]
[-0.2078435 ]
[-4.62963669]]
可以看出，syn0的第一个元素，也就是第一个输入特征（长发）的权重最大，而第二个和第三个特征都很小，所以神经网络学习的结果是加重第一个特征的权重，而其他两个特征对于是女性这个推测的贡献较小，所以减小其权重。为了验证训练结果，我们加入两组新数据，(短头发，红衣服，矮个子)，(长头发，不是红衣服，矮个子)，并用神经网络来进行分类：
X_new = np.array([[0,1,0],
[1,0,0]])
y_new = np.dot(X_new,syn0)
计算结果如下：
Predicte With syn0:
[[-0.2078435 ]
[ 9.67299303]]
二层神经网络
上面的例子中，我们只用了一层神经网络，这只能解决线性问题，而现实中，一个孤立的特征并不是对应一个分类，还是用上面的例子说明：上面的问题中，我们假定了长头发是女性的概率一定大于男性，高个子是男性的概率一定大于女性，这种假设中，特征和分类是一种确定的关系，而特征之间没有依赖关系。而现在，我修改这种假设，在穿红衣服的人群中，长头发更可能是女性，而在穿其他颜色的衣服中，短头发更有可能是女性，此时，我们上面的神经网络模型就失效了，因为我们无法直接建头发这个输入特征到性别这个输入的直接联系。
为了解决上面的问题，我们需要在加入一层神经网络，将输入层的特征进行组合，然后在传导到输出层，这就是二层神经网络的模型，其示意图如下：
中间加入的这一层佳作隐含层，由于这一层的加入，我们多了一层传导，所以初始化的时候需要再加入一个权重矩阵：
syn1 = 2*np.random.random((4,1)) - 1
两层神经网络的学习更新过程如下：
for j in range(60000):
# Feed forward through layers 0, 1, and 2
l0 = X
l1 = nonlin(np.dot(l0,syn0))
l2 = nonlin(np.dot(l1,syn1))
# how much did we miss the target value?
l2_error = y - l2
if (j% 10000) == 0:
print("Error:" + str(np.mean(np.abs(l2_error))))
# in what direction is the target value?
# were we really sure? if so, don't change too much.
l2_delta = l2_error*nonlin(l2,deriv=True)
# how much did each l1 value contribute to the l2 error (according to the weights)?
l1_error = l2_delta.dot(syn1.T)
# in what direction is the target l1?
# were we really sure? if so, don't change too much.
l1_delta = l1_error * nonlin(l1,deriv=True)
syn1 += l1.T.dot(l2_delta)
syn0 += l0.T.dot(l1_delta)
结合前面的单层神经网络的实现，就很容易理解上面的代码了，代码中，L0的输出没有直接作为最终输出层，而是传导给了L2层，L2层以相同的方式传导到输出层。而更新权重的时候，采用的是相反的过程，先依据L2输出的误差，更新syn1，再用L2的误差乘以syn1，作为L1层的误差，最后用同样的方法更新第一层权重矩阵syn0
结语
这篇文章以最简单的方式构建了一个基本的神经网络，虽然离实用还相去甚远，但是已经初现神经网络的雏形框架，如果需要构建一个实用级别的神经网络，还需要加入一些其他的功能，原作者建议我们从以下这些概念开始入手，优化我们的神经网络）：
- Alpha
- Bias Units
- Mini-Batches
- Delta Trimming
- Parameterized Layer Sizes
- Regularization
- Dropout
- Momentum
- Batch Normalization
- GPU Compatability
- 其他脑洞
