（4.10）James Stewart Calculus 5th
2016-10-15 本文已影响28人
dodo_lihao
Antiderivatives 不定积分（反导数）
如果在一个区间内 F'(x) = f(x)， 则 这里
F 函数，叫做 不定积分（反导数 ， anti 可以理解为 反的意思，也就是 反函数的意思）
例如， 如果 这里 f(x) = x^2，
可以得到 F(x) = x^3/3
我们可以通过图像，得到：
这一些函数的都是
y = x^3/3 + C （C为任意实数）
定理1
对应的不定积分的 通用写法为
对应的表格：
例子
例子2
首先，先简单化简一下
再根据公式，单独求每一项的积分：
定义： 微分方程
An equation that involves the derivatives of a function is called a differential equation
涉及到函数导数的方程，我们叫 微分方程
例子
例子3
首先，先简单化简一下
再根据公式，单独求每一项的积分：
由于 f(0) = -2
解对应的方程，可以得到：
代入到C中，可以得到对应的f：
例子4
求一次积分，可以得到：
再求一次，可以得到：
我们知道，f(0) = 4，f(1) = 1
带入，可以得到：
f(0) = 0 + D = 4
f(1) = 1 + 1 - 2 + C + D = 1
可以求得：
C = -3， D = 4
所以，最后的方程值，为：
The Geometry of Antiderivatives 不定积分的几何
其实，也就是简单理解，挺简单的，大体过一下即可
例子：
如果我们知道对应的函数图像，求对应的积分的图像，并且有 F（0）= 2
我们可以知道 F(x) 的斜率，就是 f(x)， 大致可以得到：
- f(1) = f(3) = 0
- 这2个点，F(x)有局部最值
- f(1) 过程中，先负后正，有最小值
- f(3)过程中，先正后负， 有最大值
- (0，1)上，f(x)为负值，并且增长
- 我们知道，对应的斜率为负值，最后为0
- 左上到右下， 坡度慢慢减小
- (1，2)上，f(x)为正值，并且增长
- 我们知道，对应的斜率为正值，最后为0
- 左下到右上， 坡度慢慢变大
- (2，3)上，f(x)为正值，并且减小
- 我们知道，对应的斜率为正值，最后为0
- 左下到右上， 坡度慢慢减小
- (3，4)上，f(x)为负值，并且减小
- 我们知道，对应的斜率为负值，最后为0
- 左上到右下， 坡度慢慢增大
- (4，x)上，f(x)为负值，并且增长
- 我们知道，对应的斜率为负值，最后趋于0
- 左上到右下， 坡度慢慢减小
- 再 F（0）= 2
我们根据上面的简单分析，大体可以画出草图
