七、群体标准差区间估计

2021-03-31  本文已影响0人  walleipt

卡方分布

卡方分布
我们从正太分布的群体样本中进行有放回随机抽样，每组抽样结果计算一个方差值S1,S1,....Sn,这个堆S值无法直接形成某种分布，但是将S1乘以一个常数(n-1)/\sigma ^{2},可以最终形成卡方分布，即\frac{(n-1)S^{^{2}}}{\sigma ^{2}}~\chi ^{2}

估计公式

\frac{(n-1)s^{^{2}}}{\chi _{a/2}^{2}}\leq \sigma ^{2} \leq \frac{(n-1)s^{^{2}}}{\chi _{1-a/2}^{2}}
因为我们并不知道群里的\sigma ^{2}所以如上公式使用卡方分布中的卡方值\chi ^{2}替代\sigma ^{2}。
\chi _{a/2}^{2}与\chi _{1-a/2}^{2}的位置可见下图：

位置信息

公式应用

随机抽样25罐饮料，其平均容量为18.4cc,标准差为4.9cc，求生产饮料容量的标准差在95%信赖区间的值是多少？
我们已知S=4.9,n=25,信赖区间95%
\frac{(n-1)s^{^{2}}}{\chi _{a/2}^{2}}\leq \sigma ^{2} \leq \frac{(n-1)s^{^{2}}}{\chi _{1-a/2}^{2}}
=>\frac{(25-1)*4.9^{^{2}}}{\chi _{0.05/2}^{2}}\leq \sigma ^{2} \leq \frac{(25-1)*4.9^{^{2}}}{\chi _{1-0.05/2}^{2}}
=>\frac{(25-1)*4.9^{^{2}}}{\chi _{0.025}^{2}}\leq \sigma ^{2} \leq \frac{(25-1)*4.9^{^{2}}}{\chi _{0.975}^{2}}
=>\frac{(25-1)*4.9^{^{2}}}{\chi _{0.025,24}^{2}}\leq \sigma ^{2} \leq \frac{(25-1)*4.9^{^{2}}}{\chi _{0.975,24}^{2}}
=>\frac{(25-1)*4.9^{^{2}}}{39.3641}\leq \sigma ^{2} \leq \frac{(25-1)*4.9^{^{2}}}{12.4011}
=>14.64\leq \sigma ^{2} \leq 46.47
=>3.83\leq \sigma \leq 6.82

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