【PCA】上证50主成分分析
上一篇文章，对PCA的理论基础做了介绍，本文讲一个实例，对上证50成分股进行主成分分析，然后对结果进行展示和说明。
一.获取成分股的历史价格
首先引入所需要的库。
然后通过tushare获取成分股的历史价格，需要注意的是，sz50是上证50指数的代码。获取指数是为了与主成分做对比分析。
第三步要对数据进行处理，如果某天有的股票无价格，则删除这天的数据，然后进行归一化，最后把指数单独拿出来。
二.进行主成分分析
分解成分的过程很简单，调用sklearn的PCA类进行fit即可。输出成分的个数为50，按照上文的结论，就应该是50，因为还没有降维，只是进行了坐标变换。接着输出前面10个成分的方差看看，可以看出，成分已经按照方差从大到小排好了顺序。
然后寻找占总方差比例超过95%的几个成分，经试验可知前8个成分的占总方差的比例刚好超过95%，所以可以确定前8个成分就是主成分。这样就可以将数据维度从50降为8了。
三.结果展示与分析
我们试试将50个成分股降为1维当做主成分指数，同原始指数进行对比一下，看看效果。其中黄色曲线是主成分指数，蓝色是原始指数，可以看出趋势是一样的。
再试一下将成分股降为5维，然后根据方差加权平均作为主成分指数，并同原始指数进行对比。可以看出，5维相对1维，拟合效果没有明显提升，好像还有些下降。
下面将不同时间段的拟合效果进行一下展示分析，使用了散点图和曲线图两种方式。为了在散点图中加入时间维度，需要对时间进行一个处理。
以下散点图的横坐标是降维1维主成分指数，纵坐标是原始指数，颜色是时间维度。
如果拟合效果好，则散点应该在直线x=y附近，偏离条直线越多，拟合效果越差。
红线是将散点做线性回归得到的，散点与红线的距离可体现两种指数之间关系是否紧密。
可以看出，从19年3月份之前的数据，同红线距离较近，之后的数据，距离较远。说明两种指数的紧密程度发生了变化。
再用曲线图画出两种指数的差值和时间的关系，横坐标是时间，纵坐标是差值。如果纵坐标接近0，则拟合较好，否则拟合较差。
可以看出，19年3月份前，差值在0附近稳定波动；从19年3月份开始，出现波动变大且不稳定，最后又趋于稳定。
看完1维指数，再看下5维指数。情况类似，只不过是在19年5月份以后，同x=y直线和回归直线的偏离都更大了，且偏离程度趋于稳定。说明主成分指数同原始指数的关系发生了变化。
19年5月份以后的点，已经可以算作离群点了，所以可以对其回归出一条新的曲线。
二者关系变化的原因，应该是19年5月份美国再次发动贸易战，影响到了我国股市。这导致50成分股的主成分发生了变化，可能加入了贸易战因素的主成分。但是又由于历史数据较多，导致这些新的成分权重过小，所以主成分指数和原始指数发生了一定偏离，二者关系不再那么紧密。（程序在：https://github.com/ququcai/PCA）
参考资料
[1] Yves Hilpsch. Python for Finance: Analyze Big Financial Data
往期回顾
【定价】二叉树（CRR）欧式/美式期权定价的原理及Python实现
知乎专栏：AI和金融模型
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