起因

大概两个月前，有人问我这个问题，对于一个腔室，如何通过算法确定其内壁。虽然对于具体的实现过程不了解，但是从抽象的角度看应该比较简单，所以给出了一些看法。
由于当时在看计算机图形学，想起来了模型的光照问题，仿照着似乎给出了解决办法，也就是在腔室中设置一个光源，通过遮挡算法获得可见面，然后通过拓扑的方法获得这个面的延拓，也就是微分流形中的可定向曲面，毕竟一般来说内壁面总是封闭的，也就是紧致集。这样从原则上似乎可以解决问题，不过具体的实现不知道如何进行，无法真正解决问题，也就不了了之了。

重新考虑

今天在路上忽然想起来这个问题，结合泛函分析的内容，给出了几个可行方法，但是感觉不太对，似乎少了一些情形，最终意识到这个问题是非常困难的，如果进行数学形式化的话，是一个关于欧氏距离的最优化问题。
描述起来就是对于一个数据集，选择到给定区域中任意一点的距离满足最小条件的元素的并。

这个描述可能过于抽象了，逐步解释，不失一般性，首先简化为二维问题。自然的，考虑内壁面可以在极坐标下进行，沿某一角度走一圈最靠近内部点的那个点就是壁面的点，只不过，可能出现遮挡的情形，这样就缺少了一些点，需要补充进去，这就通过选择不同的内部点实现，最后取并集，就可以认为取到了所有点。下面几幅图说明了这个道理。
黑点是选择的内部点，
绿线是对应于角度的直线，
红圈是满足最小距离的壁面上的点，
蓝×是不满足条件的壁面上的点。

极坐标
遮挡
不同的内部点
这种方法虽然也讲得通，其实就很难实现了，因为壁面的形状太复杂了，很难找到简单的识别方法。

由此想到的

为什么泛函分析，或者最优化中总是考虑凸集，可能就是这个原因，凸集确保了最小距离原则的有效性，不然像这个壁面鼓出来一块，显然是非凸，处理起来就非常麻烦，选取最小距离的点可能不完全，需要引入抽象的集合运算。集合运算又会导致对集合的描述，但是，假使我可以描述出内部了，我又干嘛多此一举去找壁面呢？直接对集合取边界不就行了。
从中也可以看出描述集合是很困难的事情，几乎就等于壁面的描述方程，所以这个描述往往是得不到的。
所以，很多实际问题其中的困难程度是非常大的，虽然从直观上看很容易理解，但是想要将这个过程描述清楚，变成算法是非常困难的。
集合运算的计算复杂度非常高，因为他是逐点处理的，对于每一点都可以进行不同的处理，就像p近邻算法一样，称之为非参数的方法。所以一般很难优化。