核心知识点，CFA一级数量分析，概率论基础
“ 人之所以会迷茫，是因为学得太多，而做得太少！”
文：蓝兔子读难NOTES
图： 配图 来源于网络
编码：0005
[Quantitative Methods]
[Probability Concepts]
金融投资的决策问题，很大程度上是在风险和收益之间做周旋，因此，问题的核心又转移到了对风险和收益的评估上。前面一篇文章的内容，我们讲了统计相关的概念和工具，这篇文章，我们将向大家分享概率论相关的概念。
但在此之前，我想问问各位同学，是否有考虑过概率论和统计学之间的区别？兔子思考了一下，但是没什么结果，不过正如伟大的牛顿所说，我们要站在巨人的肩膀上，于是兔子从网络找到了如下信息[1]：
这幅图非常形象的解释了概率论和统计学的区别，就像从一个桶里抓球一样，概率论就是在你知道桶里的情况时，预测抓出来的球是什么样的，而统计学则是根据抓出来球的情况，去反推桶里面球的情况。
怎么样，小伙伴们，都理解了吗？下面就正式开始我们的概率论划重点吧！
引言
所有的投资决策都是在有风险的情况下做出的，概率论就是其中一个帮助我们去做出正确决定的分析工具。我们通过这些工具来预测金融投资中的变数、给金融产品定价等。我们这里要了解的只是一些最基本的工具，包括期望(expected value)、方差(variance)、协方差(covariance)、相关系数(correlation)以及投资组合的期望收益(收益)和方差(风险)等。
在最后，还有两个非常有用的知识点，贝叶斯公式和排列组合公式。贝叶斯公式通过新信息的加入来更新另一件事情发生的概率。排列组合公式则用于计算次数，类似于从n个数里面取出r个，有多少种取法，也就是高中的知识水平啦，况且我们还有金融计算器呢！
术语和概念
随机变量(random variable):该变量的结果具有不确定性，风险资产的回报就是一个随机变量。
事件(event)：一系列特定的结果，比如某风险资产的收益为8%，就是一个事件。
概率(probability)：概率的定义有两个关键属性。
任何事件发生的概率都在0和1之间，可取等于。
所有可能且相互独立的事件的概率和为1。
互斥事件(mutually exclusive events)：互斥事件，所谓互斥就是有你没我，不可能同时发生的事件。
遍历事件(exhausted events)：看这个英文名就知道，遍历事件就是把这个事件所有的结果都摆出来，所有的结果的概率和为1。
独立事件(independent events)：不相互依赖的事件，两个事件的发生互不相关。互斥事件不是独立事件，因为互斥事件两者是相关（反相关也是相关）的。
客观概率(objective probability)：就是以事实为依据的概率，其有两种。
经验概率(empirical probability)：事实经验告诉我们是这个情况，大多是通过历史数据得出的。
先验概率(priori probability)：经过推断分析得出的，不是历史数据，也不是想当然。
主观概率(subjective probability)：主管概率就是主观推测了，我认为～，我觉得～。当然也可以不要我觉得，而是你觉得咋的咋的。
赔率(odds)：多是用在赌博上，与概率不同的是，概率一般可有多个可能的结果，而赔率则是要么输要么赢。另外，概率关心的是某一件事件发生的可能性，而赔率则是，输和赢的对赌关系，关注的是输赢概率的倍数，而不是单方面输赢的概率。Odds for E = P(E)/[1 − P(E)]，事件E发生的赔率就是其发生的概率除以其不发生的概率。
条件概率(conditional probability)：就是有发生条件的概率，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率就是条件概率，记为P(C)=P(B|A)，注意区分P(B)和P(B|A)。如果P(B)=P(B|A)，则说明条件事件A是否发生对B没有影响，则认为事件A和事件B是相互独立的。
联合概率(joint probability)：两个事件同时发生的概率，计作P(AB)=P(A)*P(A|B)。
概率的计算
概率的计算无非就是概率的加减乘除而已，我们依次来看。
概率的加法
概率的加法就是多个事件任有一个发生的概率，也就是任意一个事件发生都算发生的概率，计作P(A or B)或者P(A+B)，就是一个或门。
P(A or B) = P(A) + P(B) – P(AB)
概率的乘法
相当于是多个事件同时发生的概率，与之前介绍的联合概率同，计作P(A and B)或者P(AB)，一个与门。
P(AB) = P(A|B)*P(B)
根据概率乘法的概念，P(AB)是事件A和事件B都发生的情况，则可理解为B发生时A也发生的概率(P(B)*P(A|B))，或者A发生时B发生的概率(P(A)*P(B|A))，亦或者，如何事件A、B相互独立，则为(P(A)*P(B))，所以有：
A、B不独立：P(AB) = P(A|B)P(B)=P(A)*P(B|A)
A、B独立：P(AB) = P(A)*P(B)
期望与协方差
如前面内容介绍，期望叫做Expected value，预期的值，之所以叫做预期，是因为其具有不确定性。以抛骰子为例，每抛一次的结果具有不确定性，可能是1到6之间的任何整数，那怎么来确定抛骰子的预期值呢，就是利用概率来加权。不过对于骰子来说，出现任何一个结果的概率都是一样的。
期望公式可写为：
X1～Xn代表了所有可能的结果。
利用联合概率和期望的定义，可以用树形图来计算期望（概率加权）：
协方差，提到协方差就不得不再提下方差，可近似的认为，方差是只有一个事件时，其各种可能的结果的不确定性；而协方差，是两个事件的各种结果的不确定性。
方差是X的不确定性，协方差是X和Y共同的不确定性
我们知道，将方差进行开方后得到的是标准差，要将协方差标准化为标准协方差（姑且如此称呼），则需要用协方差除以两个事件各自的标准差，得到的标准协方差我们称之为相关系数。
相关系数是标准化后的协方差，具有以下性质：
取值范围为-1～1，两端点值-1和1分别代表斜率为负和正的线性关系，如果值为0，代表不存在线性关系，但有可能存在非线性关系。（这句话信息量有点大，懵逼的小伙伴自己看看教材吧！）
贝叶斯公式与排列组合
贝叶斯公式的表示形式如下
不难看出他其实是由概率的乘法公式P(AB) = P(A|B)P(B)=P(B|A)*P(A)变形得到的。贝叶斯公式一共有四个元素，分别是
B发生时A发生的概率
A发生时B发生的概率
A发生的概率
B发生的概率
虽然感觉上比较绕，但是首先要明确求的是哪一个，然后再去把其余三个的概率找到，带进去即可求出目标的概率，不要懵圈。
排列(permutation)和组合(combination)的问题其实是高中的内容，我们只要知道两者都是从n个数里面抽出r个数，分别计作排列nPr和组合cPr即可，不同之处在于排列抽取的数是有顺序的，而组合抽取的数是没有顺序的。具体的计算，使用金融计算器即可，这个计算指令位于计算器“+”和“-”两个键的第二功能上。
部分资料来源：
[1] 王伟科学网博客.说说统计学、概率论和数理统计这些老梗
