王德峰 毕达哥拉斯学派与几何学的诞生（一）

第二讲的第三节数的宇宙观。毕达克拉斯学派的宇宙观听来很奇怪，数本是人类用来整理外部事物的方法，怎么能够充当宇宙的本源呢？毕达哥拉斯肯定拿不出证据，他说整个宇宙是用数来构造的，数与数之间的和谐比例的关系，不仅是人类的数学思想，而且就是宇宙的构造本身。他举了个例子，比方说乐器，假如我们有小提琴，我们拉小提琴的时候，我们左手的手指在拨动琴弦，让他以一定的距离的方式，按一定的比例来定位，然后拉出那个声音来，这个声音与声音之间如果是和谐的，那叫乐音不是噪音。这乐音怎么造成的？是在一定的比例关系当中发生的和谐，看来数与数之间的和谐比例关系是音乐的前提。

毕达格拉斯同时认为也是宇宙存在的方式，所以他说宇宙是个巨大的百音盒，只不过宇宙的声音我们人耳听不到而已。比达哥拉斯就是这么开始说宇宙本源，把数看成宇宙的本源，其意义十分重大。数是宇宙的本源，这就做了一种区分，就是说宇宙中有两类事物，一类是可感的事物，比方说我触摸到这个茶杯，这l，还有一类事物叫可知的数，就可以被认知的数。可感的事物不等于可知的事物，你面对一个可感的事物，但你对它还并无所知，你只是感觉到它。因此可知的事物一定要超越感性，它是人心可以认识到的东西。比方说数，数与数之间的和谐比例的关系，这就是可知的事物。

可感的事物的根据在哪里？在可知的事物中。我们通过把握可知的事物，我们才能理解可感的事物。所以倘若要追问宇宙的本源，我们要抓住的是可知的数，在比达哥拉斯那里要抓住的是树数。一个东西被感觉到，但并没有被认识到。但是我们对数可以有认识，数与数的比例关系可以用数学来表达，用公式来表达，这些都是可知的事物。

这样，毕达哥纳斯学派就扭转了古希腊哲学思想的方向，本来是在自然界中寻找事物的本源，万物的本源，现在要在可知的事物中确立万物的本源，这就是一条走向超感性的道路。我们确实不可能看到数、闻到数、摸到数，但我们就是用数学来整理外部事物的，这一步走得非常关键。西方思想的基本特征恰恰就萌芽于比达哥拉斯学派。比达哥拉斯学派既是一个哲学的学派，又是个数学的学派，这个学派同时是受任的创业者。

毕达哥拉斯学派既是数学学派，又是哲学学派，他把哲学和数学统一起来，这种统一意味着什么？我们现在来思考一个问题，假如我们此刻上几何学的课，几何学的老师在几何学的课堂上跟大家讲几何学的公里。比方说平行线公理。老师是这么说的，如果有两条彼此平行的折线，线段若无限延伸，将永不相交。他这是在表达平行线公理。突然有一个学生举手了，老师，你怎么知道的？老师回答说，我画过的，我从上海在静安市一直划到外滩没相交。那个同学又要问了，如果越过黄浦江，他们相交了该怎么办？试想一下，在几何学的课堂上会发生这样的讨论吗？不可能。因为这条公理一旦被说出来，所有听到的人立刻就明白。不证自明，这叫公理。凡是公理指的就是不证自明的道理。两条彼此平行的直线线段，若无限延伸，将永不相交。所有的人都不会怀疑，我刚才虚构的几何老师跟几何的学生的对话，其实是不可能发生的。这一点说明了一件什么事，说明了几何学不是一门经验科学。

几何学并不建立在观察和实验的基础上，平行线公理并不是划了多么长才能形成的。请问，无限延伸，这在宇宙中，你怎么可能？无限延伸是在感性世界里永远做不到的事情，但是你一旦说出来，我们在理性上立刻认同这样一个公里，它并不是在说某一次观察和实验。因此，我们不能称几何学为科学。

我们现在讲的科学，要么是自然科学，要么是社会科学。一句话都是经验。科学要在实证的事实的基础上给出理论。几何学不是这样的学问。再举个例子，几何学的第一堂课自然要讲几何学的基本观念。几何学的基本观念有点线面体。老师会跟我们这么说，点是一个纯粹的位置，它没有长度，更没有厚度，也没有面积。他说着就用粉笔在黑板上点了一下，跟大家说，这就是点。那么什么是线？线就是点的移动，点的移动造成了线，而线是没有面积的，更没有体积。他在这么说的同时，用粉笔在黑板上画出一条线来。倘若有一个学生问你，说你画的是线，是没有面积也没有体积的，你现在仔细看一看细看一看，或者你用高倍的电子显微镜照一照，你会发现，哪里是没有面积和体积的点的移动？学生若这样一提问，老师倒是哑口无言了，因为他确实是用粉笔把点移动了，画出这条线的，他当然有体积了。

几何学老师怎么面对这样的学生提问？他只能这么说，其实我就用粉笔在黑板上画线，只是为了方便教学，在宇宙中根本不存在没有面界又没有体界的纯粹的点的移动，这在宇宙中是找不到的。什么叫面线的移动？假如一条直线移动了一下，就成了一个矩形，或者正方形或者长方形，那么什么叫体面的移动？假如一个正方形，它的一条边围绕着它另外一条边转动 360度，就成了一个圆柱体。几何学老师在几何学课堂上讲的点线面体在宇宙中都不存在，所以大家首先要确认这一点，我们在宇宙中不可能找到纯粹的线，我们也找不到纯粹的面，我们也找不到一个纯粹的圆柱体，你哪怕对一个物质材料加工的再精确，它还是有误差。所以几何学老师在几何学课堂上跟我们讨论的点线、面体都不是世界上真实存在的东西，而是在讨论我们心中本有的观念。这本有的观念是我们的理性本来具备的，我们可以在理性上确认一个纯粹的点，它没有长度，没有面积，也没有体积。说到这里，我们自然明白了，不能把几何学当成一门自然科学，几何学跟真实的感性的自然界没关系，几何学讨论的全是我们人心理性部分所固有的判断。