小学生算术题🧮纷争第七弹🤕

2023-06-17 本文已影响0人 Pope怯懦懦地

昨晚吃饭的时候，七舅说起 @卓卓的一道小学六年级数学题他做不出来，还看了一眼我，说「我看你也做不出来」。哼～～

已知 $S_{\triangle ADE} + S_{\triangle EFC} = 6$ ， $\overline{AE} = 3$ ，且 $\square_{BDEF}$ 为正方形，求 $\overline{EC}$ ？

$\begin{cases} \frac{\overline{AD}}{\overline{DE}} = \frac{\overline{EF}}{\overline{FC}} \\ \frac{1}{2} \overline{AD} \overline{DE} + \frac{1}{2} \overline{EF} \overline{FC} = 6 \\ \overline{AD} ^2 + \overline{DE} ^2 = \overline{AE} ^2 \end{cases}$

记 $x = \overline{AD} , y = \overline{FC}, h = \overline{DE} = \overline{EF}$ ，那么解个方程就出来了啊？

$\begin{cases} \frac{x}{h} = \frac{h}{y} \\ \frac{1}{2} x h + \frac{1}{2} h y = 6 \\ x^2 + h^2 = 3^2 \end{cases}$

可问题在于，我手工解不出来这个高次方程：

∵ $\begin{cases} x = \sqrt{9 - h^2} \\ y = \frac{h^2}{x} = \frac{h^2}{\sqrt{9 - h^2}} \end{cases}$ , ∴ $h (\sqrt{9 - h^2} + \frac{h^2}{\sqrt{9 - h^2}}) = 12$

两边平方，得：

$h^2 (9 - h^2 + 2 \sqrt{9- h^2} \frac{h^2}{\sqrt{9 - h^2}} + \frac{h^4}{9 - h^2}) = 12^2$

即：

$h^2 (9 + h^2 + \frac{h^4}{9 - h^2}) = 12^2$

呃🤔～～这 ™ 怎么解？通分？

$\begin{align} \frac{h^2}{9 - h^2} ((9 - h^2)(9 + h^2) + h^4) &= 12^2 \\ \frac{h^2}{9 - h^2} (9^2 - h^4 + h^4) &= 12^2 \\ \frac{h^2 9^2}{9 - h^2} &= 12^2 \\ 9^2 h^2 &= 12^2 \times 9 - 12^2 h^2 \\ (9^2 + 12^2) h^2 &= 12^2 \times 3^2 \\ h^2 &= \frac{12^2 \times 3^2}{15^2} \\ h &= \frac{4 \times 3}{5} \end{align}$

其实我现场没化简出来，回家以后不甘心，跑了下 Mathematica ：

可当时还是不会手工解😭，于是问了下朋友圈大神，@健腾一下就搞定了😱：

令 $\frac{x}{h} = \frac{h}{y} \stackrel{\text{def}}{=} t$ ，则 $\begin{cases} x = t h = t^2 y \\ h = t y \end{cases}$ ，代入后两式 $\begin{cases} h (x + y) = 12 \\ x^2 + h^2 = 9 \end{cases}$ ，得：

$\begin{cases} t y (t^2 y + y) &= t y^2 (t^2 + 1) &= 12 \\ t^4 y^2 + t^2 y^2 &= t y^2 (t^2 + 1) t &= 9 \end{cases}$

∴ $t = \frac{3}{4}$ 😱！这 ™ 是怎么想出来的！我又陷入了沉思～～

附：题图的 TikZ 代码

\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{draculatheme}
\usepackage{tikz}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
        \coordinate (A) at (0, 21/5);
        \coordinate (B) at (0, 0);
        \coordinate (C) at (28/5, 0);
        \coordinate (D) at (0, 12/5);
        \coordinate (E) at (12/5, 12/5);
        \coordinate (F) at (12/5, 0);

        \draw [fill, teal!30] (A) -- (D) -- (E) -- cycle;
        \draw [fill, teal!30] (E) -- (F) -- (C) -- cycle;
        \draw (B) -- (D) -- (E) -- (F) -- cycle;
        \draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;

       \foreach \i/\pos in {A/above, B/below, C/below, D/left, E/above right, F/below} {
            \fill (\i) circle (2pt) node [\pos] at (\i) {$\i$};
        }
\end{tikzpicture}
\end{document}

Ref:

小学生算术题🧮纷争第七弹🤕

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