傅里叶级数

2021-04-21 本文已影响0人 remName

线性时不变系统对复指数信号的响应也是同一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化

系统对信号输出响应是一个常数乘以输入，则该输入信号为系统的特征函数，该常数为特征值（和线代概念类似）

复指数信号就是线性时不变系统的特征函数

输入为：

$x(t)=e^{st}$

输出为：

$y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}h(k)x(t-k)dk= \int_{-\inf}^{+\inf}h(k)e^{s(t-k)}dk=e^{st}\int_{-\inf}^{+\inf}h(k)e^{-sk}dk=e^{st}H(s)$

成谐波关系的复指数信号集

$\phi _k(t)=e^{jk\omega _0t},k=0,\pm 1,\pm 2,...$

一个连续时间周期信号可以由成谐波关系的复指数信号的加权和表示

连续时间周期信号的傅里叶级数表示

$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_ke^{jk\omega _0t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_ke^{jk(2\pi/T)t}$

不同频率的系数为：

$a_k=\frac{1}{T}\int_{T}^{}x(t) e^{-jk\omega _0t}dt= \frac{1}{T}\int_{T}^{} x(t)e^{-jk(2\pi/T)t}dt$

$a_0$ 为直流分量或常数分量

连续时间周期信号的傅里叶级数近似

$x_N(t)=\sum_{k=-N}^N a_ke^{jk\omega _0t}$

当 $N\rightarrow \inf$ 时， $x_N(t)\rightarrow x(t)$

1. 在任何周期内， $x(t)$ 必须是绝对可积

2. 在任意有限区间内， $x(t)$ 具有有限个起伏变化，也就是说，在单个周期内，最大值和最小值的数目是有限的。

3. 在有限区间内，只有有限个不连续点。

满足狄里赫利条件的周期信号，在不连续点傅里叶级数收敛于不连续点左右值的平均值吗，在其他连续点收敛于原信号点。

在不连续点附近的连续位置，当N增加时，傅里叶级数和原信号越来越接近，但是对任意N值，起伏的峰值大小保持不变

$x[n]=\sum_{k=<N>}^{}a_ke^{jk\omega _0n}=\sum_{k=}^{}a_ke^{jk(2\pi/N)n}$

$a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>}^{} x[n]e^{-jk\omega _0n}=\frac{1}{N}\sum_{n=}^{} x[n]e^{-jk(2\pi/N)n}$

因为离散时间复指数信号，频率加 $2\pi$ 和本身相同，因此实际上只需要N个谐波。