8.勒让德第一定理

三角形的三个内角的和，小于或等于两个直角。

这条定理属于几何学的基础定理。在认可阿基米德公理以后，才能得出这样的结论。

证明这条定理，不需要平行公理。

证明的方法比较繁复。用反证法，用阿基米德公理导出矛盾，然后，否定假设。

也就是说，在认可阿基米德公理的几何中，这条定理都成立。包括欧式几何和罗氏几何。

但初学几何者，一般不能理解，为什么需要这样一个定理呢？三角形内角和不就是180度吗？

但实际上，几何学，属于数学的一个分支。它不包含任何的真理。（这话是大数学家克莱因说的。）

几何学，只是在最初假设大家都公认明显正确的基本元素上，进行推演。如果不接受第五公设，那么，三角形的内角和将不是两个直角。如果不接受阿基米德公设，那么，连勒让德第一定理也不能成立。

几何学不包含真理。但包含推理。提供从已知进入未知的通路。

勒让德第一定理证明图

证明 设三角形ABC中，角A用 α 表示，其余两个用 β 和 γ 表示。其中， β <= γ。

取线段BC的中点D，连接AD并延长，使得DE=AD。
设三角形ABE的三个内角分别为 α' ,β'和 γ'。

则由角的合同公理，以及对顶角合同，有
α' + γ' = α
β' = β + γ

因此，三角形ABE的内角和等于三角形ABC的内角和。

因为β <= γ, 在三角形ABC中，由大角对大边，可得
AC <= AB

因此，BE<=AB。
由此得到 α' <= γ'

则α' <= α/2

这意味着，给定一个三角形ABC，和它的某一个角α。总能作出一个三角形，与三角形ABC的内角和相等，而且一个内角小于或等于α/2。

类推，用同样的方法继续作图，总能作一个三角形与最初的三角形内角和相等，但一个角度小于或等于

现假设勒让德第一定理不成立，假设存在一个三角形的三个内角和大于两个直角，并且假设这三个内角和比两个直角大的值为

那么，可以用上面的方法，不断构造内角和不变的三角形。它的一个内角不断的减小。直到某个时候，那个内角比

还要小。

而此时，那个三角形另外两个内角的将大于两个直角。

由外角定理得出的推论是，三角形两个内角的和小于两个直角。

上述结论与之矛盾。所以，假设不成立。

故勒让德第一定理成立。

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