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积分题15

2021-01-08  本文已影响0人  Raow1
2017-1-7. 交换\int_0^1 \mathrm dy \int_0^{\arcsin y} f(x,y) \mathrm dx的积分次序。

\int_0^1 \mathrm dy \int_0^{\arcsin y} f(x,y) \mathrm dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm dx \int_{\sin x}^1 f(x,y) \mathrm dy

2017-1-8. 计算积分\iint\limits_G \min\{x,y\} \mathrm dx \mathrm dy，G=\{ (x,y) : x \in [0,1], y \in [0,1] \}

\begin{align*} \iint\limits_G \min\{x,y\} \mathrm dx \mathrm dy &= \int_0^1 \mathrm dx \int_0^x y \mathrm dy + \int_0^1 \mathrm dy \int_0^y x \mathrm dx \\ &= 2 \int_0^1 \frac{1}{2} x^2 \mathrm dx \\ &= \frac{1}{3} \end{align*}

2017-1-9. 计算\iint\limits_S (x+y+z) \mathrm dS，S = \{ (x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 = 1 , z \geq 0\}。

显然有\iint\limits_S x \mathrm dS和\iint\limits_S y \mathrm dS为0。于是，在球面坐标中，
\begin{align*} \iint\limits_S (x+y+z) \mathrm dS &= \iint\limits_S z \mathrm dS \\ &= \int_0^{2\pi} \mathrm d \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \varphi \sin \varphi \mathrm d \varphi \\ &= \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 \varphi \mathrm d \varphi \\ &= -\frac{\pi}{2} \cos 2\varphi |_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \pi \end{align*}

2017-2-7. 交换\int_{-1}^0 \mathrm dy \int_{\frac{\pi}{2}}^{\arccos y} f(x,y) \mathrm dx的积分次序。

\int_{-1}^0 \mathrm dy \int_{\frac{\pi}{2}}^{\arccos y} f(x,y) \mathrm dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\mathrm dx \int_{-1}^{\cos x} f(x,y) \mathrm dy

2017-2-8. 计算积分\iint\limits_G \frac{ \mathrm dx \mathrm dy}{x^2+y^2-1}，G=\{ (x,y) : 9 \leq x^2 + y^2 \leq 25 \}

\begin{align*} \iint\limits_G \frac{ \mathrm dx \mathrm dy}{x^2+y^2-1} &= \int_0^{2\pi} \mathrm d \theta \int_3^5 \frac{r}{r^2-1} \mathrm d r \\ &= \pi \int_8^{24} \frac{1}{t} \mathrm dt \\ &= \pi \ln 3 \end{align*}

2017-2-9. 计算\iint\limits_S (y-z) \mathrm dS，S = \{ (x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 = 1 , y \leq 0\}。

显然有\iint\limits_S z \mathrm dS为0。于是，在球面坐标中，
\begin{align*} \iint\limits_S (y-z) \mathrm dS &= \iint\limits_S y \mathrm dS \\ &= \int_0^{\pi} \sin^2 \varphi \mathrm d \varphi \int_{\pi}^{2\pi} \sin \theta \mathrm d \theta \\ &=-2 \int_{0}^{\pi} \sin^2 \varphi \mathrm d \varphi \\ &= -4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \\ &= - \pi \end{align*}

2017-3-7. 交换\int_{0}^1 \mathrm dy \int^{\frac{\pi}{2}}_{\arccos y} f(x,y) \mathrm dx的积分次序。

\int_{0}^1 \mathrm dy \int^{\frac{\pi}{2}}_{\arccos y} f(x,y) \mathrm dx = \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\mathrm dx \int^{1}_{\cos x} f(x,y) \mathrm dy

2017-3-8. 计算积分\iint\limits_G \max\{x,y\} \mathrm dx \mathrm dy，G=\{ (x,y) : x \in [0,1], y \in [0,1] \}

\begin{align*} \iint\limits_G \max\{x,y\} \mathrm dx \mathrm dy &= \int_0^1 \mathrm dx \int_0^x x \mathrm dy + \int_0^1 \mathrm dy \int_0^y y \mathrm dx \\ &= 2 \int_0^1 x^2 \mathrm dx \\ &= \frac{2}{3} \end{align*}

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